Due integrali con radice
Salve,
dovrei risolvere due integrali sui quali ho alcuni dubbi.
Il primo è:
$int (1/(sqrt(9+x^2)))dx$
In un esempio simile del mio professore ho visto che ha posto $sqrt(9+x^2)=x+t$. Qui non ho capito da dove è stata presa quella x. Io avevo posto invece $sqrt(9+x^2)=t$ senza x al secondo membro.
Il secondo integrale invece è:
$int (sqrt(9+x^2))dx$
Spero in un vostro aiuto e vi ringrazio in anticipo.
dovrei risolvere due integrali sui quali ho alcuni dubbi.
Il primo è:
$int (1/(sqrt(9+x^2)))dx$
In un esempio simile del mio professore ho visto che ha posto $sqrt(9+x^2)=x+t$. Qui non ho capito da dove è stata presa quella x. Io avevo posto invece $sqrt(9+x^2)=t$ senza x al secondo membro.
Il secondo integrale invece è:
$int (sqrt(9+x^2))dx$
Spero in un vostro aiuto e vi ringrazio in anticipo.
Risposte
"andre85":
Salve,
dovrei risolvere due integrali sui quali ho alcuni dubbi.
Il primo è:
$int (1/(sqrt(9+x^2)))dx$
In un esempio simile del mio professore ho visto che ha posto $sqrt(9+x^2)=x+t$. Qui non ho capito da dove è stata presa quella x. Io avevo posto invece $sqrt(9+x^2)=t$ senza x al secondo membro.
nel primo integrale puoi dividere il denominatore per 3, dopo qualche passaggio arriverai ad un integrale immediato
"andre85":
Salve,
dovrei risolvere due integrali sui quali ho alcuni dubbi.
Il primo è:
$int (1/(sqrt(9+x^2)))dx$
In un esempio simile del mio professore ho visto che ha posto $sqrt(9+x^2)=x+t$. Qui non ho capito da dove è stata presa quella x. Io avevo posto invece $sqrt(9+x^2)=t$ senza x al secondo membro.
Il secondo integrale invece è:
$int (sqrt(9+x^2))dx$
Spero in un vostro aiuto e vi ringrazio in anticipo.
puoi risolverli entrambi come integrali binomi. Nel secondo sembra trovi applicazione anche l'uso delle sostituzioni con funzioni iperboliche.
La prima, in effetti, è la derivata di una delle funzioni settore iperbolico. Per farla saltare fuori osserva che vale la relazione $cosh^2 x - sinh^2 x = 1$, che puoi scrivere come $cosh x = sqrt{1 + sinh^2 x}$ e siccome $d (sinh x) = cosh x dx $ puoi ricondurre il tuo integrale a quello di una costante. Per ottenere il risultato in funzione di x devi solo invertire la sostituzione $x = sinh t = (e^x - e^(-x))/2$ e cioè $ \int = t = arc sinh x = ln[x + sqrt{x^2 + 1}]$.
Per il secondo stessa sostituzione e stesso ragionamento. Se non che ti viene da integrare un po' di prodotti di funzioni che puoi esplicitare in termini di esponenziali.
Per il secondo stessa sostituzione e stesso ragionamento. Se non che ti viene da integrare un po' di prodotti di funzioni che puoi esplicitare in termini di esponenziali.
Il primo integrale alla fine risulta in questo modo $ln[x + sqrt{x^2 + 1}]$ però il mio dubbio resta nel fatto che utilizzando il metodo di sostituzione il prof abbia posto $sqrt(9+x^2)=x+t$ e non $sqrt(9+x^2)=t$... Non sto capendo da dove è spuntata quella x al secondo membro che si va a sommare a t 
$int (1/(sqrt(9+x^2)))dx$
Semplicemente ponendo $sqrt(9+x^2)=x+t$ il tuo professore ha voluto razionalizzare il denominatore della funzione integranda. In generale se hai un integrale del tipo
$int (1/(sqrt(ax^2+bx+c)))dx$ con $a>0$, ponendo $sqrt(ax^2+bx+c)=sqrt(a)x+t$ razionalizzi la funzione integranda di partenza.
Intanto che ci sono correggo il risultato da te ottenuto, quello corretto è $ln|x+sqrt(9+x^2)|$
Semplicemente ponendo $sqrt(9+x^2)=x+t$ il tuo professore ha voluto razionalizzare il denominatore della funzione integranda. In generale se hai un integrale del tipo
$int (1/(sqrt(ax^2+bx+c)))dx$ con $a>0$, ponendo $sqrt(ax^2+bx+c)=sqrt(a)x+t$ razionalizzi la funzione integranda di partenza.
Intanto che ci sono correggo il risultato da te ottenuto, quello corretto è $ln|x+sqrt(9+x^2)|$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo