Due integrali (apparentemente semplici)
Salve a tutti,
non riesco a risolvere i due integrali seguenti:
$\int \sqrt{\frac{e^x-1}{e^x+1}} dx$
$\int_0^1 t^{-2/5} \cdot (1-t)^{-3/5} dt$
Nella risoluzione del primo ho provato ad usare le sostituzioni $u=\sqrt{e^x \pm 1}$ oppure $u=e^x \pm 1$, ma non riesco ad arrivare a nessuna formula sensata. Quella di Wolfram Mathematica è $$\log \left(\sqrt{e^x-1} \sqrt{e^x+1}+e^x\right)+\tan
^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{e^x-1} \sqrt{e^x+1}}\right).$$ Potreste dirmi come iniziare?
Il secondo, invece, lo si risolve agilmente utilizzando la funzione Beta di Eulero, che non è parte del programma, e quindi ci dev'essere un metodo più semplice. Ho tentato con la sostituzione $t=\cos^2 x$, ma mi ritrovo con l'integrale $-2 \int_0^{2\pi} \cot^{1/5}x dx$ e non riesco ad andare avanti.
La soluzione di Mathematica in questo caso è (per l'integrale indefinito) $$\frac{5}{3} t^{3/5} \, _2F_1\left(\frac{3}{5},\frac{3}{5};\frac{8}{5};t\right),$$ ma è impossibile che debba essere usata la funzione ipergeometrica. Anche qui, potreste darmi una mano?
Grazie
non riesco a risolvere i due integrali seguenti:
$\int \sqrt{\frac{e^x-1}{e^x+1}} dx$
$\int_0^1 t^{-2/5} \cdot (1-t)^{-3/5} dt$
Nella risoluzione del primo ho provato ad usare le sostituzioni $u=\sqrt{e^x \pm 1}$ oppure $u=e^x \pm 1$, ma non riesco ad arrivare a nessuna formula sensata. Quella di Wolfram Mathematica è $$\log \left(\sqrt{e^x-1} \sqrt{e^x+1}+e^x\right)+\tan
^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{e^x-1} \sqrt{e^x+1}}\right).$$ Potreste dirmi come iniziare?
Il secondo, invece, lo si risolve agilmente utilizzando la funzione Beta di Eulero, che non è parte del programma, e quindi ci dev'essere un metodo più semplice. Ho tentato con la sostituzione $t=\cos^2 x$, ma mi ritrovo con l'integrale $-2 \int_0^{2\pi} \cot^{1/5}x dx$ e non riesco ad andare avanti.
La soluzione di Mathematica in questo caso è (per l'integrale indefinito) $$\frac{5}{3} t^{3/5} \, _2F_1\left(\frac{3}{5},\frac{3}{5};\frac{8}{5};t\right),$$ ma è impossibile che debba essere usata la funzione ipergeometrica. Anche qui, potreste darmi una mano?
Grazie
Risposte
Ciao.
Non so se nel frattempo tu li abbia risolti, io ho guardato i passaggi di wolfram per il primo; anche se in genere non sono un granché in quanto esistono vie più veloci, credo che questa volta sia l'unica strada.
La sostituzione da fare è:
$$\frac{1}{e^x+1}=t$$
Poi, una volta fatto, si sostituisce:
$$\sqrt{1-2t} = s$$
E poi dovrebbe essere risolubile.
Non so se nel frattempo tu li abbia risolti, io ho guardato i passaggi di wolfram per il primo; anche se in genere non sono un granché in quanto esistono vie più veloci, credo che questa volta sia l'unica strada.
La sostituzione da fare è:
$$\frac{1}{e^x+1}=t$$
Poi, una volta fatto, si sostituisce:
$$\sqrt{1-2t} = s$$
E poi dovrebbe essere risolubile.
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