Due funzioni.......

[Darèios89]

Ho questa funzione:

[tex]\frac{|x|}{1-e^{-x}}[/tex]

Devo trovare dominio ed asintoti, il mio problema è, il dominio è

[tex]]-\infty, +\infty[[/tex] ?

Io ho il sospetto che, quando x è uguale a 0 avrei il denominatore uguale a 0, anche se ho quel meno davanti alla x del denominatore.

Quindi il mio dominio l'ho scritto come

[tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]

Poi gli asintoti li ho calcolati correttamente

Poi ho un' altra funzione (a due variabili)

([tex]f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
xy^2log\sqrt{x^2+y^4}\\

0\end{matrix}\right.[/tex] La prima vale se [tex](x,y) \neq (0,0)[/tex] L'altra se invece [tex](x,y)=(0,0)[/tex]

Devo verificare se è continua nel punto (0,0) e se esistono, le derivate parziali prime rispetto ad x e y.


Allora, dubito del mio ragionamento ma,

[tex]\lim_{(x,y) \to \(0,0) }xy^2log\sqrt{x^2+y^4}[/tex]

[tex]0
Poichè 0 tende a 0, e [tex]xy^2[/tex] pure, allora anche il limite di partenza tende a 0.




Poi ho calolato le derivate parziali, che ovviamente devo calcolare tramite definizione.

A voi risulta che esistano?

Ho calcolato i limiti laterali e mi sono venuti entrambi 0 per x e y.

Riporto solo il calcolo per la y:

[tex]\lim_{y \to \0 }\frac{xy^2log\sqrt{x^2+y^4}}{y}[/tex]

Ho semplificato le y e poi ho usato un limite notevole

[tex]\lim_{y \to \0 }\frac{xy^2log\sqrt{1+x^2+y^4-1}}{\sqrt{x^2+y^4}}*\sqrt{x^2+y^4}[/tex] che dovrebbe fare 0 sia in un intorno destro che sinistro...

[enr87]

riguardo la continuità non mi sembra corretto: il logaritmo, se l'argomento tende a 0+, va a -infinito. prova a studiare il limite lungo la restrizione y = mx: se vedi che il risultato dipende da m, allora il limite non può esistere

la prima funzione va bene

[Darèios89]

Mh...cioè calcolare

[tex]x(mx)^2log\sqrt{x^2+(mx)^4}[/tex] ?

[enr87]

sì, fai una prova e vedi che ti esce. il concetto è che non devi piombarti a confrontarla, prima prova lungo alcune restrizioni

[Darèios89]

Si, ma....mi risulta un pò difficile calcolarlo, ho provato con quel logaritmo a usare un limite notevole, ma arrivo sempre a 0 come risultato.....

[enr87]

mmm.. in effetti è un po' scomodo per colpa del logaritmo, comunque se non ho sbagliato i conti pare che vada a 0, così come se prendi x = y^2, quindi sembrano esserci almeno i presupposti perchè sia continua in 0.
io ho provato a fare questo ragionamento: $ |ln(x^2+y^4)| <= |ln(x^4+y^4)| <= |ln(2x^2y^2)| $ per (x,y) che tende a (0,0) (ricavi l'ultima disuguaglianza da $ (x^2 - y^2)^2 >= 0 $ ).
quindi:
$ |xy^2 ln(x^2+y^4)| <= |xy^2 \ ln(2x^2y^2)| <= |xy \ 2 ln(sqrt(2)|xy|)| $, che tende a 0

edit: ho appena corretto 2 imprecisioni

[Darèios89]

Non mi è chiaro il tuo confronto, ma il mio proprio non andava bene?

[enr87]

più che altro sul tuo c'è una forma indeterminata che non si capisce bene come sparisca, mentre se guardi da me ti puoi ricondurre a un limite in una variabile che calcoli facilmente (purtroppo con più variabili le cose non sono così immediate come per funzioni da R in R). e soprattutto non puoi dire che sia maggiore di 0, ma devi considerare il modulo di f(x) - L (L = valore supposto del limite, cioè 0).
se ad esempio x è minore di 0 la tua disuguaglianza non vale

urco, spetta che ho fatto un errore sopra.. vedo di correggere dammi un po' di tempo
edit: no, è tutto giusto scusami

dimmi pure cosa non capisci che ti spiego

[Darèios89]

L'ultimo termine con cui confronti...

[enr87]

ho applicato le proprietà dei logaritmi, tieni conto che $ 2x^2y^2 = (\sqrt2 xy)^2 $.
poi per x e y che tendono a 0 hai sicuramente che |xy^2| < |xy|