Due esercizi sulle serie numeriche

[vfab971]

Salve a tutti, avrei bisogno di una mano nella risoluzione di queste due Serie:

1. $ sum((n+1+3^n)/(log(n+1)+5^n)) $

2. $ sum(n log((n^2+1)/n^2)) $

Quale Criterio devo utilizzare per risolverli?

[otta96]

Cosa hai provato a fare? Dove ti blocchi?

[vfab971]

Sinceramente non capisco come cominciare.. che criterio dovrei utilizzare?

[otta96]

Quando in una serie non si sa da dove partire è sempre una buona idea cercare di verificare se la condizione necessaria alla convergenza è soddisfatta, prova.

[vfab971]

Ok. Ho verificato che fosse soddisfatta la condizione necessaria di Cauchy ed entrambi i limiti delle successioni tendono a 0.
Adesso come procedo?

[otta96]

Sei sicur* che anche nella prima serie il termine $n$-esimo tenda a $0$? Posta i passaggi che hai fatto.
Nella seconda dalla dimostrazione che il termine $n$-esimo tende a $0$ dovresti riuscire a ricavare informazioni utili che ti suggeriscono come procedere nell'esercizio. [Suggerimento: confronto]

[vfab971]

i calcoli che ho fatto nella prima:
$ lim_(n -> oo ) (5^n(n/5^n + 1/5^n + (3/5)^n))/(5^n(1+(log(n+1))/5^n))= lim 0/1 = 0 $

Per la seconda ho applicato De l'Hopital, potrei confrontare con la serie armonica? ( 1/n ) Confronto semplice o asintotico?

Edit: avevo sbagliato a scrivere la serie iniziale ( 5^n è al denominatore)

[vict85]

Ti suggerirei di non cancellare direttamente il \(\displaystyle \bigl(\frac{3}{5}\bigr)^n \) come un termine nullo. Quei due limiti convergono in modo "simile".

[otta96]

Se guardi bene ti accorgi che hai sbagliato a scrivere il testo, sicuramente quel $5^n$ andava a denominatore, in tal caso hai fatto bene.
Comunque se facevi questo passaggio $lim_(n -> oo ) (5^n(n/5^n + 1/5^n + (3/5)^n))/(5^n(1+(log(n+1))/5^n))= lim (3/5)^n(1+ n/3^n+1/3^n)/(1+(log(n+1))/5^n)$ ti accorgevi che va a $0$ come $(3/5)^n$, che ti suggerisce che criterio usare.

[vfab971]

Quindi utilizzo il confronto asintotico dividendo per (3/5)^n, il limite risulta 1>0, quindi ha lo stesso carattere di (3/5)^n, cioè converge.

Per la seconda potrei utilizzare il confronto asintotico con 1/n?

[otta96]

Si.

[vfab971]

invece per la serie $ sum(1+n^2)/(n^2 ln n) $ , con cosa faccio il confronto asintotico?
Potresti spiegarmi un metodo per capire quale serie utilizzare per il confronto?

[otta96]

Determinare la convergenza o meno delle serie non è qualcosa che può essere fatto seguendo pedissequamente una successione di regole come invece si può fare per calcolare le derivate (di funzioni elementari), ci vuole inventiva, creatività, è una cosa che si impara dopo tanto esercizio ed esperienza.
Ad ogni modo alcune cose che assomigliano a delle regole si possono dare, ad esempio calcolare il limite del termine $n$-esimo, potresti già finire (se non viene $0$), ma anche se viene $0$, dovresti riuscire a trarne delle informazioni utili, sostanzialmente "quanto velocemente va a $0$", per poter usare il criterio del confronto, oppure se vedi che nei termini ci sono molto prodotti, per esempio elevamenti alla $n$, fattoriali, coefficienti binomiali ma non solo, la cosa che deve venire in mente è di usare il criterio del rapporto, se invece la serie è a segni alterni, c'è da controllare se funziona il criterio di Leibnitz. Se niente di questo funziona…. bisogna inventarsi qualcosa.