Due esercizi sulle serie.

andrea11111
Ciao ragazzi, buonasera, anzi, buonanotte.

Le serie sono queste:

$\sum_{n=1}^infty (n^2+cosn)/(n^4+4)$

$\sum_{n=1}^infty log(1+1/n)/n$

Avrei bisogno di un aiuto circa la risoluzione. Partiamo col dire che entrambe hanno limite uguale a 0 facilmente dimostrabile col confronto asintotico, quindi, entrambe potrebbero convergere. Nella prima n^4 "corre" più velocemente all'infinito, mentre nella seconda la funzione potenza è più veloce della funzione logaritmo. Dunque, ora passiamo allo studio del carattere. Per la prima avevo pensato di confrontarla alla serie $\sum_{n=1}^infty 1/n^2$. Poiche $1/n^2$ converge ed è simile alla serie di partenza converge anche la quella. Giusto? Che dite? Altri modi per dimostrarla?

Nella seconda, invece, avevo pensato di applicare il metodo della radice ma non sono sicurissimo, che suggerite?

Grazie per le eventuali risposte, Andrea.

Risposte
francescop21
Per quanto riguarda la prima è giusto confrontarla con \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \) perché vale la seguente maggiorazione:

\(\displaystyle \frac{n^2+\cos n}{n^4 + 4} \le \frac{n^2+1}{n^4 + 4} \asymp \frac{1}{n^2} \)

Per la seconda prova a sviluppare con Taylor il logaritmo :wink:

andrea11111
"francescop21":
Per quanto riguarda la prima è giusto confrontarla con \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \) perché vale la seguente maggiorazione:

\(\displaystyle \frac{n^2+\cos n}{n^4 + 4} \le \frac{n^2+1}{n^4 + 4} \asymp \frac{1}{n^2} \)

Per la seconda prova a sviluppare con Taylor il logaritmo :wink:


Grazie! Comunque ho risolto anche la seconda tramite il criterio degli infinitesimi:

con p=2 semplifico la n al denominatore e mi rimane $n*log(1+1/n)$ che tende a 1, dunque con p>1 e limite diverso da più infinito la serie converge!

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.