Due esercizi sulla cardinalità
Ciao a tutti volevo chiedervi un parere su due esercizi :
Determinare la cardinalità di : A={ p(x) ∈ Q[x] : p( √2) è irrazionale}
Ho pensato un polinomio generico di grado n in Q[x] è scrivibile come p(x)= an(x)^n + an-1(x)^n-1 +...+ a1(x) + a0
dove an è diverso da 0 con coefficenti razionali, tuttavia affinche p(√2) sia irrazionale deve esistere almeno un coefficente
ai diverso da zero con ai coefficente di (x)^k con k minore di n e k dispari e inoltre il seguente termine non deve cancellarsi con altri termini in cui compare √2 il problema è che qui non riesco ad andare avanti...
Determinare la cardinalità di : B={(x,y) ∈ R^2 : x + √2y ∈ Q, x - √2y ∈ Q}
Qui invece ho pensato x deve essere necessariamente razionale poichè la somma di due irrazionali è razionale
e la somma di un irrazionale e di un razionale è irrazionale di conseguenza non soddisferei le condizioni di appartenenza
all' insieme B .
invece y deve essere della forma (n/√2k) dove n e k sono interi , l insieme costituito dai valori (n/√2k) è numerabile
poichè in corrispondenza biunivoca con Q di conseguenza L insieme B ha cardinalità Numerabile(?)
Secondo voi può andare?
Determinare la cardinalità di : A={ p(x) ∈ Q[x] : p( √2) è irrazionale}
Ho pensato un polinomio generico di grado n in Q[x] è scrivibile come p(x)= an(x)^n + an-1(x)^n-1 +...+ a1(x) + a0
dove an è diverso da 0 con coefficenti razionali, tuttavia affinche p(√2) sia irrazionale deve esistere almeno un coefficente
ai diverso da zero con ai coefficente di (x)^k con k minore di n e k dispari e inoltre il seguente termine non deve cancellarsi con altri termini in cui compare √2 il problema è che qui non riesco ad andare avanti...
Determinare la cardinalità di : B={(x,y) ∈ R^2 : x + √2y ∈ Q, x - √2y ∈ Q}
Qui invece ho pensato x deve essere necessariamente razionale poichè la somma di due irrazionali è razionale
e la somma di un irrazionale e di un razionale è irrazionale di conseguenza non soddisferei le condizioni di appartenenza
all' insieme B .
invece y deve essere della forma (n/√2k) dove n e k sono interi , l insieme costituito dai valori (n/√2k) è numerabile
poichè in corrispondenza biunivoca con Q di conseguenza L insieme B ha cardinalità Numerabile(?)
Secondo voi può andare?
Risposte
Innanzitutto osserva come,fissato a piacere $"n"in NN$ ed indicato con $"P"_"n"$ l'insieme delle $"n"$-uple di $QQ^"n"$(che è numerabile,perchè ovviamente prodotto finito d'insiemi notoriamente numerabili)con I° elemento non nullo,l'insieme $"P"_"n"$ sia numerabile,perchè sottoinsieme(banalmente)infinito del numerabile $QQ^"n"$:
pertanto lo sarà l'unione numerabile,al variare di $"n"in NN$,dei $"P"_"n"$(sia essa denotata con $P$).
Associando poi ad un generico elemento dell'insieme $QQ"[x]"$ la stringa dei suoi coefficienti,ottieniamo un'applicazione tra tale insieme e $P$ la quale,per definizione di uguaglianza tra polinomi,è iniettiva:
da ciò importiamo come $QQ"[x]"$ sia numerabile,perchè infinito ed in corrispondenza iniettiva con un numerabile,e dunque basterebbe dimostrare che l'insieme del I° quesito è infinito per affermarne la numerabilità..
Sul II° sono d'accordo con idea e conclusione,ma formalizzerei in modo leggermente diverso(questioni ininfluenti di gusto
)
perchè mi pare ad occhio agevolmente domostrabile,per doppia inclusione,che $"B={(x,y)"in RR^"2"" t.c. x,y"sqrt("2")in QQ"}"$:
aspetta però conferme più qualificate,che le cardinalità sono spesso un inferno celestiale e sorprendente nel quale è bene non dar l'apparentemente ovvio per scontato(come sapeva bene il buon George Cantor ed avevano difficoltà a digerire troppi accademici dei suoi tempi).
Saluti dal web.
pertanto lo sarà l'unione numerabile,al variare di $"n"in NN$,dei $"P"_"n"$(sia essa denotata con $P$).
Associando poi ad un generico elemento dell'insieme $QQ"[x]"$ la stringa dei suoi coefficienti,ottieniamo un'applicazione tra tale insieme e $P$ la quale,per definizione di uguaglianza tra polinomi,è iniettiva:
da ciò importiamo come $QQ"[x]"$ sia numerabile,perchè infinito ed in corrispondenza iniettiva con un numerabile,e dunque basterebbe dimostrare che l'insieme del I° quesito è infinito per affermarne la numerabilità..
Sul II° sono d'accordo con idea e conclusione,ma formalizzerei in modo leggermente diverso(questioni ininfluenti di gusto
)perchè mi pare ad occhio agevolmente domostrabile,per doppia inclusione,che $"B={(x,y)"in RR^"2"" t.c. x,y"sqrt("2")in QQ"}"$:
aspetta però conferme più qualificate,che le cardinalità sono spesso un inferno celestiale e sorprendente nel quale è bene non dar l'apparentemente ovvio per scontato(come sapeva bene il buon George Cantor ed avevano difficoltà a digerire troppi accademici dei suoi tempi).
Saluti dal web.
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