Due esercizi sui limiti che vanno risolti senza limiti notevoli
Scusate per l'eccessiva lunghezza del titolo ':)
In ogni caso, ho due esercizi sul calcolo del limite che non richiedono la conoscenza dei limiti notevoli e che non riesco a risolvere.
$ f(x)=(root(5)(1+x^3)-root(3)(1+x^5))/(sin^2(root(3)(x))*log(1+x^2) $
Di questa funzione calcolarne il limite per x tendente a 0. La soluzione è 0.
In realtà, in questo esercizio, mi posso avvalere di 3 limiti notevoli, o in alternativa di 2 sviluppi asintotici e di 1 limite notevole, ma il modo in cui è risolto nel libro sembra immediato e implica l'uso della notazione dell'o piccolo.
In particolare lo svolgimento è il seguente:
$ [(1+x^(3/5)+o(x^3))-(1+x^(5/3)+o(x^5))]/[(root(3)(x)+o(root(3)(x)))^2*(x^2+o(x^2)) $
e da qui, il risultato che f(x) tende a 0.
Nello specifico non mi è chiaro perché è lecito "abbassare" di grado le x al numeratore con l'indice della radice, dato che compare anche un termine noto all'argomento! Suppongo che questo passaggio valga per x tendente a 0 ma vorrei una spiegazione in merito. Mi sembra potenzialmente molto utile per sbarazzarsi di termini lunghissimi in pochi secondi, ma voglio anche aver presenti le limitazioni per l'uso.
Per quanto riguarda il denominatore, invece, il passaggio mi appare piuttosto chiaro a partire dagli sviluppi asintotici di seno e di logaritmo.
Il secondo esercizio è tratto da un altro libro, è segnalato come difficile, e non consta di risoluzione. La soluzione è comunque indicata ed è 1/6.
$ f(x)=[2x^2]/(3-3x^2)*(root(2)(2-x)-1) $
Di questa funzione calcolare il limite per x tendente ad 1.
Ad essere sincero, la tipologia potrebbe essere totalmente diversa da quella dell'esercizio precedente. Infatti, è nella categoria di risoluzione della forma indeterminata $ 0*Inf $
Però, mi dà l'impressione che se mi sarà chiara la risoluzione del primo esercizio, potrei riuscire a fare questo con la stessa supposta tecnica.
Grazie in anticipo per le risposte.
In ogni caso, ho due esercizi sul calcolo del limite che non richiedono la conoscenza dei limiti notevoli e che non riesco a risolvere.
$ f(x)=(root(5)(1+x^3)-root(3)(1+x^5))/(sin^2(root(3)(x))*log(1+x^2) $
Di questa funzione calcolarne il limite per x tendente a 0. La soluzione è 0.
In realtà, in questo esercizio, mi posso avvalere di 3 limiti notevoli, o in alternativa di 2 sviluppi asintotici e di 1 limite notevole, ma il modo in cui è risolto nel libro sembra immediato e implica l'uso della notazione dell'o piccolo.
In particolare lo svolgimento è il seguente:
$ [(1+x^(3/5)+o(x^3))-(1+x^(5/3)+o(x^5))]/[(root(3)(x)+o(root(3)(x)))^2*(x^2+o(x^2)) $
e da qui, il risultato che f(x) tende a 0.
Nello specifico non mi è chiaro perché è lecito "abbassare" di grado le x al numeratore con l'indice della radice, dato che compare anche un termine noto all'argomento! Suppongo che questo passaggio valga per x tendente a 0 ma vorrei una spiegazione in merito. Mi sembra potenzialmente molto utile per sbarazzarsi di termini lunghissimi in pochi secondi, ma voglio anche aver presenti le limitazioni per l'uso.
Per quanto riguarda il denominatore, invece, il passaggio mi appare piuttosto chiaro a partire dagli sviluppi asintotici di seno e di logaritmo.
Il secondo esercizio è tratto da un altro libro, è segnalato come difficile, e non consta di risoluzione. La soluzione è comunque indicata ed è 1/6.
$ f(x)=[2x^2]/(3-3x^2)*(root(2)(2-x)-1) $
Di questa funzione calcolare il limite per x tendente ad 1.
Ad essere sincero, la tipologia potrebbe essere totalmente diversa da quella dell'esercizio precedente. Infatti, è nella categoria di risoluzione della forma indeterminata $ 0*Inf $
Però, mi dà l'impressione che se mi sarà chiara la risoluzione del primo esercizio, potrei riuscire a fare questo con la stessa supposta tecnica.
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Risposte
Oh, grazie mille.
Lo sviluppo a) da te riportato mi era proprio ignoto.
Nel frattempo, ero riuscito a sciogliere la forma indeterminata con il limite notevole dell'esponenziale, sommando e sottraendo 1 al numeratore, spezzando la frazione in due, etc... insomma, molto meglio Taylor :^)
C'è un pulsante per +reputation?
Lo sviluppo a) da te riportato mi era proprio ignoto.
Nel frattempo, ero riuscito a sciogliere la forma indeterminata con il limite notevole dell'esponenziale, sommando e sottraendo 1 al numeratore, spezzando la frazione in due, etc... insomma, molto meglio Taylor :^)
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