Due esercizi su insiemi
Ciao a tutti, innanzitutto mi si chiede di determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme $D$ in $(0,2)$ dei numeri razionali il cui allineamento decimale è costituito solo dalle cifre $0$ e $2$. Inoltre, devo scrivere il risultato sotto forma di frazione di interi.
Allora, mi pare evidente che $maxD=0,222...=2/9$
Per quanto riguarda l'inf: l'unica cosa che mi viene in mente è un'allineamento di moolti zeri, e un due il più in là possibile. Siccome posso avvicinarmi sempre di più allo zero in questo modo, l'estremo inferiore è $0$, e non esiste il minimo.
(p.s. come scrivo l'inf e il sup in formule? Se ci provo nel modo ovvio non esce quello che voglio
)
E' corretto?
Se non chiedo troppo posterei qui anche il secondo esercizio: dato l'insieme $A={(x,y)inRR^2:y=alphax, alphainRR-QQ, |x|+|y|<1}$, la successione ${r_n}_(n=1)^∞$ divergente di numeri razionali e $C_n={(x,y)inRR^2:y=r_nx}$, devo determinare l'interno e la chiusura di $E:=Auu uuu_(n=1)^∞C_n$
Allora, $A$ è l'insieme delle rette irrazionali che stanno in un rombo aperto centrato nell'origine; $C_n$, invece, non riesco a visualizzarlo. Su due piedi direi che è l'insieme delle rette razionali, inclusa, poiché $r_nrarr∞$ per $nrarr∞$, la retta di equazione $x=0$. Concluderei dunque dicendo che l'interno di $E$ è il rombo privato del bordo, mentre la chiusura è il rombo chiuso unito alle rette razionali.
Questo so che non è corretto, ma che ne pensate?
Allora, mi pare evidente che $maxD=0,222...=2/9$
Per quanto riguarda l'inf: l'unica cosa che mi viene in mente è un'allineamento di moolti zeri, e un due il più in là possibile. Siccome posso avvicinarmi sempre di più allo zero in questo modo, l'estremo inferiore è $0$, e non esiste il minimo.
(p.s. come scrivo l'inf e il sup in formule? Se ci provo nel modo ovvio non esce quello che voglio
)E' corretto?
Se non chiedo troppo posterei qui anche il secondo esercizio: dato l'insieme $A={(x,y)inRR^2:y=alphax, alphainRR-QQ, |x|+|y|<1}$, la successione ${r_n}_(n=1)^∞$ divergente di numeri razionali e $C_n={(x,y)inRR^2:y=r_nx}$, devo determinare l'interno e la chiusura di $E:=Auu uuu_(n=1)^∞C_n$
Allora, $A$ è l'insieme delle rette irrazionali che stanno in un rombo aperto centrato nell'origine; $C_n$, invece, non riesco a visualizzarlo. Su due piedi direi che è l'insieme delle rette razionali, inclusa, poiché $r_nrarr∞$ per $nrarr∞$, la retta di equazione $x=0$. Concluderei dunque dicendo che l'interno di $E$ è il rombo privato del bordo, mentre la chiusura è il rombo chiuso unito alle rette razionali.
Questo so che non è corretto, ma che ne pensate?
Risposte
Per quanto riguarda il primo esercizio, sono d'accordo... A meno che non sia lecito considerare anche $1.bar(2)$, poiché nel qual caso tale numero sarebbe il massimo di $D$.
Non è lecito, mi sono sbagliato: l'intervallo è $(0,1)$ 
Ti ringrazio per la risposta. Sul secondo esercizio, che è quello che mi preme di più, hai qualche cosa da dirmi?
Ti ringrazio per la risposta. Sul secondo esercizio, che è quello che mi preme di più, hai qualche cosa da dirmi?
Come già hai notato, l'insieme $A$ è fatto dai segmenti che le rette di equazione $y=alpha x$ (con $alpha$ irrazionale) staccano sul quadrato di centro l'origine $O$ e con vertici nei punti $(+-1,0)$ e $(0,+-1)$.
D'altra parte, a quanto mi pare di capire, ogni insieme $C_n$ coincide con la retta (tutta!) di equazione $y=r_n x$.
Quindi, l'insieme $E$ è formato dai segmenti che costituiscono $A$ e dalle rette che costituiscono $C:=UU_(n\in NN) C_n$.
"A occhio", mi pare che l'interno di $E$ sia vuoto e che la chiusura sia tutto il piano.
D'altra parte, a quanto mi pare di capire, ogni insieme $C_n$ coincide con la retta (tutta!) di equazione $y=r_n x$.
Quindi, l'insieme $E$ è formato dai segmenti che costituiscono $A$ e dalle rette che costituiscono $C:=UU_(n\in NN) C_n$.
"A occhio", mi pare che l'interno di $E$ sia vuoto e che la chiusura sia tutto il piano.
Mmm, sicuro che l'interno dell'insieme $E$ sia vuoto? Infatti, il quadrato viene riempito dai segmento irrazionali e dalla prima parte delle rette razionali uscenti dall'origine, o mi sbaglio? Quindi l'interno corrisponde con l'interno del quadrato.
Come concludi che la chiusura è tutto il piano? Il ragionamento sarebbe che tutti i razionali sono di accumulazione per l'insieme $C$ e tutti gli irrazionali anche perché contengono sempre per la densità dei razionali un numero razionale, corretto? Dunque tutto il piano è di accumulazione e fa quindi parte della chiusura.
(già che ci siamo, potresti confermarmi che per $I=(a,b)nnQQ$, $I'=[a,b]=partialI$? Ovvero tutti i reali dell'intervallo compresi gli estremi sono punti di accumulazione e di frontiera?)
Come concludi che la chiusura è tutto il piano? Il ragionamento sarebbe che tutti i razionali sono di accumulazione per l'insieme $C$ e tutti gli irrazionali anche perché contengono sempre per la densità dei razionali un numero razionale, corretto? Dunque tutto il piano è di accumulazione e fa quindi parte della chiusura.
(già che ci siamo, potresti confermarmi che per $I=(a,b)nnQQ$, $I'=[a,b]=partialI$? Ovvero tutti i reali dell'intervallo compresi gli estremi sono punti di accumulazione e di frontiera?)
"Gustav Wittgenstein":
Mmm, sicuro che l'interno dell'insieme $E$ sia vuoto? Infatti, il quadrato viene riempito dai segmento irrazionali e dalla prima parte delle rette razionali uscenti dall'origine, o mi sbaglio? Quindi l'interno corrisponde con l'interno del quadrato.
Non credo che il quadrato venga riempito.
Infatti, "a occhio", la condizione $r_n->+oo$ implica che non puoi sperare che $\{r_n\}=QQ$ (fondamentalmente perché il sostegno di una successione divergente ha come unica accumulazione $+oo$).
Quindi almeno un razionale $r$ non è tra gli $r_n$ e, conseguentemente, tutti i punti della retta di equazione $y=rx$ non stanno né in $C$ (perché $r!= r_n$ per ogni $n$) né in $A$ (ovviamente); ciò importa che nessun punto di tale retta che cade nel quadrato $|x|+|y|<1$ è in $E$ e dunque può essere interno ad $E$.
"Gustav Wittgenstein":
Come concludi che la chiusura è tutto il piano? Il ragionamento sarebbe che tutti i razionali sono di accumulazione per l'insieme $C$ e tutti gli irrazionali anche perché contengono sempre per la densità dei razionali un numero razionale, corretto? Dunque tutto il piano è di accumulazione e fa quindi parte della chiusura.
Hai ragione, non è tutto il piano... Proprio perché non puoi sperare che $\{r_n\}=QQ$!
A questo punto, direi che la chiusura è l'insieme formato unendo il quadrato e l'asse delle ordinate.
"Gustav Wittgenstein":
(già che ci siamo, potresti confermarmi che per $I=(a,b)nnQQ$, $I'=[a,b]=partialI$? Ovvero tutti i reali dell'intervallo compresi gli estremi sono punti di accumulazione e di frontiera?)
Se $I'$ denota il derivato, sì.
Ok adesso ci siamo. Ho capito... ti ringrazio! Mi fregava la successione divergente... 
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