Due esercizi
Salve a tutti: vorrei chiedervi come si svolgono questi due esercizi che io non ci salto fuori.
Es 1
$ lim_(x -> oo ) frac{ln(e^x+3x)-3^(-x)+sin(x)}{x*artctan(x)+ln(x)} $
I risultati sono 0, -1, $ pi/2 $, $ 2/pi $. Io ho provato a svolgerlo approssimando con taylor e mi viene 0 ma non penso vada bene.
Es 2
$ sum n^alpha (1/n-sin(1/n)) $
L'esercizio chiede per quali valori alpha la serie converge.
I risultati sono $ alpha <1 $ , $ alpha >1 $ , $ alpha > -1 $ , $ alpha <2 $.
Qualcuno mi da una mano? Grazie a tutti
Es 1
$ lim_(x -> oo ) frac{ln(e^x+3x)-3^(-x)+sin(x)}{x*artctan(x)+ln(x)} $
I risultati sono 0, -1, $ pi/2 $, $ 2/pi $. Io ho provato a svolgerlo approssimando con taylor e mi viene 0 ma non penso vada bene.
Es 2
$ sum n^alpha (1/n-sin(1/n)) $
L'esercizio chiede per quali valori alpha la serie converge.
I risultati sono $ alpha <1 $ , $ alpha >1 $ , $ alpha > -1 $ , $ alpha <2 $.
Qualcuno mi da una mano? Grazie a tutti
Risposte
Ciao jack312.
Posta qui i passaggi che hai fatto, solo così possiamo aiutarti
Come sopra
"jack312":
Es 1
$ lim_(x -> oo ) frac{ln(e^x+3x)-3^(-x)+sin(x)}{x*artctan(x)+ln(x)} $
[...] Io ho provato a svolgerlo approssimando con taylor e mi viene 0 ma non penso vada bene.
Posta qui i passaggi che hai fatto, solo così possiamo aiutarti
"jack312":
Es 2
$ sum n^alpha (1/n-sin(1/n)) $
L'esercizio chiede per quali valori alpha la serie converge.
Come sopra
Allora per quanto riguarda il limite ho fatto in questo modo:
ho considerato
$ ln(e^x+3x) ~ ln(e^x) $
$ 3^(-x) rarr 0 $
$ sin(x) ~ x-x^3/6 $ (taylor)
$ x*arctan(x) ~ x(x-x^3/3) $
$ ln(x) ~ x-x^2/2 $
e poi ho svolto i calcoli.
Per la serie invece ho guardato il grado riconducendole alla serie armonica generalizzata.
Ho pensato che $ sin(x) ~ 1/x, x->\infty $
e quindi ho fatto: $ sum(1/n^(1-alpha)-1/n^(-alpha-1)) $. Dopo ho considerato le due serie $ sum(1/n^(1-alpha)) $ e
$ sum(-1/n^(-alpha-1)) $ e ho calcolato per la prima $ 1-alpha>1 $ e per la seconda $ -alpha-1>1 $.
risultato quindi $ alpha>0 $ e $ alpha<-2 $
ho considerato
$ ln(e^x+3x) ~ ln(e^x) $
$ 3^(-x) rarr 0 $
$ sin(x) ~ x-x^3/6 $ (taylor)
$ x*arctan(x) ~ x(x-x^3/3) $
$ ln(x) ~ x-x^2/2 $
e poi ho svolto i calcoli.
Per la serie invece ho guardato il grado riconducendole alla serie armonica generalizzata.
Ho pensato che $ sin(x) ~ 1/x, x->\infty $
e quindi ho fatto: $ sum(1/n^(1-alpha)-1/n^(-alpha-1)) $. Dopo ho considerato le due serie $ sum(1/n^(1-alpha)) $ e
$ sum(-1/n^(-alpha-1)) $ e ho calcolato per la prima $ 1-alpha>1 $ e per la seconda $ -alpha-1>1 $.
risultato quindi $ alpha>0 $ e $ alpha<-2 $
perchè non cominci a semplificarti la vita osservando che il numeratore è asintotico a $ln(e^x+3x)$ ed il denominatore a $pi/2x$?
"quantunquemente":
perchè non cominci a semplificarti la vita osservando che il numeratore è asintotico a $ln(e^x+3x)$ ed il denominatore a $pi/2x$?
cavolo hai ragione non ci avevo pensato che arctan tende a $ pi/2 $. Quindi la risposta è $ 2/pi $ giusto?
mentre per il secondo esercizio te come procederesti?
sì,il risultato è $2/pi$
per il secondo esercizio,sappiamo che ,a $0$,$x-senx$ è asintotico a $x^3/6$
allora,$1/n-sin(1/n)$ è asintotico a $1/6(1/n)^3$
per il secondo esercizio,sappiamo che ,a $0$,$x-senx$ è asintotico a $x^3/6$
allora,$1/n-sin(1/n)$ è asintotico a $1/6(1/n)^3$
quindi la mia soluzione è sbagliata?
direi proprio di sì
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