Due esempi di integrali impropri
Ragazzi, buon pomeriggio! 
Volevo chiedervi se potevate fornirmi due semplici esempi di integrali impropri di primo tipo, uno che converge, l'altro che diverge utilizzando il criterio del confronto degli integrali, e altrettanti esempi di integrali impropri di secondo tipo, uno che converge, l'altro che diverge utilizzando sempre il criterio del confronto degli integrali. Ringrazio infinitamente in anticipo!
Volevo chiedervi se potevate fornirmi due semplici esempi di integrali impropri di primo tipo, uno che converge, l'altro che diverge utilizzando il criterio del confronto degli integrali, e altrettanti esempi di integrali impropri di secondo tipo, uno che converge, l'altro che diverge utilizzando sempre il criterio del confronto degli integrali. Ringrazio infinitamente in anticipo!
Risposte
Calcolare il seguente integrale improprio:
$$\displaystyle\int_{+\infty}^{-1}\,\, \frac{e^{-x}}{(x-4)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}} \,\,dx. $$
La funzione integranda è definita per $x\ne1/2, x\ne4$ e dunque l'integrale in $[-1,+\infty)$ presenta tre singolarità in $x=-1/2, x =4,$ e $+\infty;$ la funzione integranda inoltre risulta positiva per $ > -1/2 ,$ e negativa per $x < -1/2:$
poichè mantiene costante il segno in un opportuno intorno di ogni punto critico, possiamo considerarne il comportamento asintotico:
\begin{align*}
x\to -\frac{1}{2}^{\pm}:&\quad \frac{e^{-x}}{(x-4)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}} \sim \frac{C}{ \left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}\to \text{converge;}\\
x\to 4^{\pm}:&\quad\frac{e^{-x}}{(x-4)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}\sim\frac{C}{(x-4)^{2} }\to \text{diverge;}\\
x\to +\infty:&\qquad\frac{e^{-x}}{(x-4)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}\sim\frac{e^{-x}}{ x ^{2} x ^{\frac{1}{3}}}\sim\frac{1}{ e^x x^ \frac{7}{3} }\to \text{converge.}
\end{align*}
$$\displaystyle\int_{+\infty}^{-1}\,\, \frac{e^{-x}}{(x-4)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}} \,\,dx. $$
La funzione integranda è definita per $x\ne1/2, x\ne4$ e dunque l'integrale in $[-1,+\infty)$ presenta tre singolarità in $x=-1/2, x =4,$ e $+\infty;$ la funzione integranda inoltre risulta positiva per $ > -1/2 ,$ e negativa per $x < -1/2:$
poichè mantiene costante il segno in un opportuno intorno di ogni punto critico, possiamo considerarne il comportamento asintotico:
\begin{align*}
x\to -\frac{1}{2}^{\pm}:&\quad \frac{e^{-x}}{(x-4)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}} \sim \frac{C}{ \left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}\to \text{converge;}\\
x\to 4^{\pm}:&\quad\frac{e^{-x}}{(x-4)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}\sim\frac{C}{(x-4)^{2} }\to \text{diverge;}\\
x\to +\infty:&\qquad\frac{e^{-x}}{(x-4)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}\sim\frac{e^{-x}}{ x ^{2} x ^{\frac{1}{3}}}\sim\frac{1}{ e^x x^ \frac{7}{3} }\to \text{converge.}
\end{align*}
Grazie mille per la risposta Noisemaker Volevo solo chiederti se esistono semplici integrali impropri noti (a parte i p-integrali) per cui, tramite confronto, si può determinare la loro convergenza o meno utilizzando proprio i p-integrali, sia del primo tipo che del secondo tipo. Grazie!
Volevo solo chiederti se esistono semplici integrali impropri noti (a parte i p-integrali) per cui, tramite confronto, si può determinare la loro convergenza o meno utilizzando proprio i p-integrali, sia del primo tipo che del secondo tipo. Grazie!
Ma il primo limite non si tratta di una divergenza dopotutto ci ritroviamo nella forma $ C/0^+- $?
"polloalcurry":
Ma il primo limite non si tratta di una divergenza dopotutto ci ritroviamo nella forma $ C/0^+- $?
...l'integrale è impropio... quindi si tratta di capire in che modo va all'infinito, cioè con quale velocità va all'infinito....
Ragazzi, adesso posto due esempi di integrali impropri del primo tipo, uno che converge, l'altro che diverge ed altri due esempi di integrali impropri del secondo tipo, uno che converge e l'altro che diverge. Potete vedere se è tutto giusto?
1. Integrali impropri del primo tipo
1a. $ int_0^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx $
$ int_0^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx=int_0^(1)1/sqrt(x+x^3)dx+int_1^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx $
in $(0,1]$
$sqrt(x+x^3)>sqrt(x)$
quindi:
$ int_0^(1)1/(sqrt(x+x^3))dx
L'integrale di sinistra converge per confronto con quello di destra.
in $[1, +infty)$
$sqrt(x+x^3)>sqrt(x^3)$
$ int_1^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx
L'integrale di sinistra converge per confronto con quello di destra.
Dunque $ int_0^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx $ CONVERGE.
1b. $ int_(-infty)^(+infty)x/(1+x^2)dx $
$ int_(-infty)^(+infty)x/(1+x^2)dx=int_(-infty)^(0)x/(1+x^2)dx+int_(0)^(+infty)x/(1+x^2)dx $
Considero l'integrale
$ int_(0)^(+infty)x/(1+x^2)dx $
in $(0,1]$
$1+x^2>x$
$ int_(0)^(1)x/(1+x^2)dx>int_(0)^(1)x/x^2dx=int_0^(1)1/xdx $
L'integrale di sinistra diverge per confronto con quello di destra.
Dunque $ int_(-infty)^(+infty)x/(1+x^2)dx $ DIVERGE.
2. Integrali impropri del secondo tipo
2a. $ int_0^(1)e^(-x^2)dx $
in $(0,1]$
$e^(-x^2)<1$
$ int_0^(1)e^(-x^2)dx < int_0^(1)dx $
L'integrale di sinistra converge per confronto con quello di destra.
Dunque $ int_0^(1)e^(-x^2)dx $ CONVERGE.
2b. $ int_0^(pi/2)tanxdx $
in $(0,pi/4]$
$tanx>sinx$
$ int_0^(pi/4)tanxdx>int_0^(pi/4)sinxdx $
L'integrale di sinistra diverge per confronto con quello di destra.
Dunque $ int_0^(pi/2)tanxdx $ DIVERGE.
Grazie mille in anticipo!!
1. Integrali impropri del primo tipo
1a. $ int_0^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx $
$ int_0^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx=int_0^(1)1/sqrt(x+x^3)dx+int_1^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx $
in $(0,1]$
$sqrt(x+x^3)>sqrt(x)$
quindi:
$ int_0^(1)1/(sqrt(x+x^3))dx
L'integrale di sinistra converge per confronto con quello di destra.
in $[1, +infty)$
$sqrt(x+x^3)>sqrt(x^3)$
$ int_1^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx
L'integrale di sinistra converge per confronto con quello di destra.
Dunque $ int_0^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx $ CONVERGE.
1b. $ int_(-infty)^(+infty)x/(1+x^2)dx $
$ int_(-infty)^(+infty)x/(1+x^2)dx=int_(-infty)^(0)x/(1+x^2)dx+int_(0)^(+infty)x/(1+x^2)dx $
Considero l'integrale
$ int_(0)^(+infty)x/(1+x^2)dx $
in $(0,1]$
$1+x^2>x$
$ int_(0)^(1)x/(1+x^2)dx>int_(0)^(1)x/x^2dx=int_0^(1)1/xdx $
L'integrale di sinistra diverge per confronto con quello di destra.
Dunque $ int_(-infty)^(+infty)x/(1+x^2)dx $ DIVERGE.
2. Integrali impropri del secondo tipo
2a. $ int_0^(1)e^(-x^2)dx $
in $(0,1]$
$e^(-x^2)<1$
$ int_0^(1)e^(-x^2)dx < int_0^(1)dx $
L'integrale di sinistra converge per confronto con quello di destra.
Dunque $ int_0^(1)e^(-x^2)dx $ CONVERGE.
2b. $ int_0^(pi/2)tanxdx $
in $(0,pi/4]$
$tanx>sinx$
$ int_0^(pi/4)tanxdx>int_0^(pi/4)sinxdx $
L'integrale di sinistra diverge per confronto con quello di destra.
Dunque $ int_0^(pi/2)tanxdx $ DIVERGE.
Grazie mille in anticipo!!
Ciao ragazzi, voglio solo sapere se le soluzioni degli integrali che ho postato sono corrette. Grazie mille in anticipo!!
I risultati sono giusti 
1a.
1b.
2a.
2b.
1a.
$ int_0^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx $
$lim_(x->0^+) 1/(sqrt(x+x^3))$ \(\displaystyle \sim \) $1/(sqrtx)=+oo text( di ordine ) <1=>text( converge)$
$lim_(x->+oo) 1/(sqrt(x+x^3))$ \(\displaystyle \sim \) $1/(sqrt(x^3))=0 text( di ordine ) >1=>text( converge)$
$=> int_0^(+infty)1/(sqrt(x+x^3))dx text( converge)$
1b.
$ int_(-infty)^(+infty)x/(1+x^2)dx $
$lim_(x->-oo)x/(1+x^2)dx = 0^(-) text(di ordine )<1=>text( diverge)$
$lim_(x->+oo)x/(1+x^2)dx = 0^+ text(di ordine )<1=>text( diverge)$
$=>int_(-infty)^(+infty)x/(1+x^2)dx text( diverge)$
2a.
$ int_0^(1)e^(-x^2)dx $
$lim_(x->0^+)e^(-x^2)=1=>text( converge)$
$lim_(x->1^-)e^(-x^2)=1/e=>text( converge)$
$=> int_0^(1)e^(-x^2)dx text( converge)$
2b.
$ int_0^(pi/2)tan(x)dx $
$lim_(x->0^+)tan(x)=0 =>text( converge)$
$lim_(x->(pi/2)^-)tan(x)=+oo text( di ordine)>1 =>text( diverge)$
$=> int_0^(pi/2)tan(x)dx text( diverge)$
Grazie mille per la risposta, Brancaleone!!!
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