Due domandine sui punti di accumulazione
1) La definizione del libro dice che: Un punto $x_0$ è di accumulazione per un insieme $A$ se per ogni intorno $I(x_0)$ esistono sempre punti di $A$ diversi da $x_0$ contenuti nell'intorno.
Poi dice che in formule si scrive:
\(\displaystyle \forall I(x_0) \quad \exists x \in A \Rightarrow x \in I(x_0), x\neq x_0\)
Risolvendo gli esercizi sul libro ve ne sono alcuni che chiedono di verificare se un certo punto è di accumulazione per un'insieme definito da una funzione.
Per fare questo in base alla proprietà sopra allora quel punto $x_0$ sarà di accumulazione se
\(\displaystyle \forall \varepsilon,\delta>0 \quad \exists x \in A \Rightarrow x \in ]x_0-\varepsilon,x_0+\delta[ \)
Quindi equivalentemente per l'insieme definito dalla funzione $f(x)$ come:
\(\displaystyle A:=\{x,y \in \mathbb{R}, y=f(x)\} \)
Il punto $x_0$ sarà di accumulazione per $A$ se
\(\displaystyle \forall \varepsilon,\delta>0 \quad \exists f(x) \in A \Rightarrow x_0-\varepsilon
Ho fatto poi vedere la proprietà al prof. di matematica e ha detto che va bene, ma che potevo usare come intorno semplicemente un intorno simmetrico qualsiasi, e cioè la proprietà sopra diventava
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \quad \exists f(x) \in A \Rightarrow |f(x)-x_0|<\varepsilon \)
Questo però non mi convince perché per la definizione di punto di accumulazione considera degli intorni generici e non intorni simmetrici che dovrebbero essere diversi. La domanda che faccio è quindi: Perché se la proprietà è verificata solo per gli intorni simmetrici lo è anche per ogni intorno generico come quello che ho fatto io?
2) Sul libro ci sono delle proprietà sui punti di accumulazione, in particolare dice che se $x_0$ è l'estremo superiore (o inferiore) di un insieme $A$ e non vi appartiene allora questo è un punto di accumulazione destro (o sinistro).
Cio' che non capisco è perché il punto $x_0$ per forza non deve appartenere all'insieme e quindi non essere massimo (o minimo) dell'insieme?
Poi dice che in formule si scrive:
\(\displaystyle \forall I(x_0) \quad \exists x \in A \Rightarrow x \in I(x_0), x\neq x_0\)
Risolvendo gli esercizi sul libro ve ne sono alcuni che chiedono di verificare se un certo punto è di accumulazione per un'insieme definito da una funzione.
Per fare questo in base alla proprietà sopra allora quel punto $x_0$ sarà di accumulazione se
\(\displaystyle \forall \varepsilon,\delta>0 \quad \exists x \in A \Rightarrow x \in ]x_0-\varepsilon,x_0+\delta[ \)
Quindi equivalentemente per l'insieme definito dalla funzione $f(x)$ come:
\(\displaystyle A:=\{x,y \in \mathbb{R}, y=f(x)\} \)
Il punto $x_0$ sarà di accumulazione per $A$ se
\(\displaystyle \forall \varepsilon,\delta>0 \quad \exists f(x) \in A \Rightarrow x_0-\varepsilon
Ho fatto poi vedere la proprietà al prof. di matematica e ha detto che va bene, ma che potevo usare come intorno semplicemente un intorno simmetrico qualsiasi, e cioè la proprietà sopra diventava
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \quad \exists f(x) \in A \Rightarrow |f(x)-x_0|<\varepsilon \)
Questo però non mi convince perché per la definizione di punto di accumulazione considera degli intorni generici e non intorni simmetrici che dovrebbero essere diversi. La domanda che faccio è quindi: Perché se la proprietà è verificata solo per gli intorni simmetrici lo è anche per ogni intorno generico come quello che ho fatto io?
2) Sul libro ci sono delle proprietà sui punti di accumulazione, in particolare dice che se $x_0$ è l'estremo superiore (o inferiore) di un insieme $A$ e non vi appartiene allora questo è un punto di accumulazione destro (o sinistro).
Cio' che non capisco è perché il punto $x_0$ per forza non deve appartenere all'insieme e quindi non essere massimo (o minimo) dell'insieme?
Risposte
"CaMpIoN":
se $x_0$ è l'estremo superiore (o inferiore) di un insieme $A$ e non vi appartiene allora questo è un punto di accumulazione destro (o sinistro).
dice che se $x_0$ è l'estremo superiore (o inferiore) di un insieme $A$ e non vi appartiene allora è un pto di accumulaz., nulla vieta che possa appartenervi ed essere un minimo o un massimo, nonchè pto di accumulazione.
Così dissi anche al prof. che era d'accordo, solo che il libro sembra insistere anche su alcuni esercizi svolti, ma se anche tu sei d'accordo siamo in tre, sarà un errore del libro.
Per quanto riguarda la domanda 1)
Se ti è chiaro che PER OGNI intorno non simmetrico esistono quei due numeri che chiamerò per comodità $ epsi_1 $ e $ epsi_2 $ deve essere rispettata quella proprietà, immaginiamo di introdurre un terzo numero $ delta $ tale che $ delta $ sia minore sia di $ epsi_1 $ che di $ epsi_2 $ , ovviamente la proprietà sarà verificata in un intorno simmetrico di raggio $ delta $ perchè esso è sempre contenuto in quello di partenza determinato con i numeri $ epsi_1 $ e $ epsi_2 $ ;
Quindi puoi tranquillamente scegliere un $ delta $ che ti permetta di scrivere più comodamente la definizione usando un intorno simmetrico purchè sia più piccolo di quei due $ epsi_1 $ e $ epsi_2 $ , è il PER OGNI che ti salva.
Spero di essere stato chiaro
Se ti è chiaro che PER OGNI intorno non simmetrico esistono quei due numeri che chiamerò per comodità $ epsi_1 $ e $ epsi_2 $ deve essere rispettata quella proprietà, immaginiamo di introdurre un terzo numero $ delta $ tale che $ delta $ sia minore sia di $ epsi_1 $ che di $ epsi_2 $ , ovviamente la proprietà sarà verificata in un intorno simmetrico di raggio $ delta $ perchè esso è sempre contenuto in quello di partenza determinato con i numeri $ epsi_1 $ e $ epsi_2 $ ;
Quindi puoi tranquillamente scegliere un $ delta $ che ti permetta di scrivere più comodamente la definizione usando un intorno simmetrico purchè sia più piccolo di quei due $ epsi_1 $ e $ epsi_2 $ , è il PER OGNI che ti salva.
Spero di essere stato chiaro
Ahh ho capito, praticamente l'intorno simmetrico è contenuto nell'intorno generale e se l'intorno simmetrico contiene punti di $A$ allora li contiene anche l'intorno generale a cui è appartiene, dato che i valori di $\varepsilon_1$ e $\varepsilon_2$ sono generici, esiste sempre un $\delta$ minore di entrambi, al contrario trovo sempre due valori maggiori di $\delta$, quindi posso utilizzare solo $\delta$ e quindi solo gli intorni simmetrici.
Giusto il ragionamento?
Giusto il ragionamento?
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