Due domande sul concetto ultimo di limite
Buon sabato utenti 
,
Vorrei porvi due domande sul concetto di limite:
1) La prima riguarda il concetto di limite infinito al finito, e come esempio prendiamo una funzione che abbia dominio con punto di accumulazione x'. Bene, "andando verso" x' a sinistra di esso un ramo va a +infinito, in modo identico anche a sinistra di x' la funzione va a + infinito ma si avvicina più rapidamente a x'. Nella definizione di limite (non sto a scriverla tutta ma solo il pnto che no mi è chiaro) dice che preso un ε avrò un δ (parametro di controllo sulle ascisse dipendente da epsilon) tale che se prenso un x in quell'intorno individuato da x' e δ avrò un valore che cade nell'intorno delle ordinate stabilito da ε. Scritto rigorosamente avrei $|x-x'|<δ$ e qui sorge il mio dubbio: ma il delta non dovrebbe essere diverso tra sinistra e destra? Se la funzione fosse simmetrica sono d'accordo, (un ε avrò un δ) ma se una parte è più schiacciata verso x' allora consegue che un epsilon mi farà trovare due δ distinti..(graficamente: https://imageshack.com/i/pmZiO2oej )
2) Il secondo dubbio invece è questo:prendiamo un limite finito all'infinito. Facciamo sia questo pessimo disegno il grafico della funzione (paint-art, scusate!). La definizione mi dice che per qualunque ε>0 è verificato che prendendo un x maggiore si un M(ε)>0 (delle ascisse) che verifica $|f(x)-c'|<ε (intendendo c come il punto sulleordinate a cui tende il limite). E' evidente che prendendo un ε grande che mi individua un M che prende dentro quel cambio di monotonia crescente del grafico la definizione non varrà (dice per qualunque ε, che sì di solito prendo "piccola a piacere" per giungere allo scopo, ma in via teoria è "per ogni" e qui non varrebbe).
In realtà il grafico rompe la condizione imposta dalla definizione, ma è evidente che converge. Come si ovvia a questo problema nella definizione?
Grazie a tutti!
,Vorrei porvi due domande sul concetto di limite:
1) La prima riguarda il concetto di limite infinito al finito, e come esempio prendiamo una funzione che abbia dominio con punto di accumulazione x'. Bene, "andando verso" x' a sinistra di esso un ramo va a +infinito, in modo identico anche a sinistra di x' la funzione va a + infinito ma si avvicina più rapidamente a x'. Nella definizione di limite (non sto a scriverla tutta ma solo il pnto che no mi è chiaro) dice che preso un ε avrò un δ (parametro di controllo sulle ascisse dipendente da epsilon) tale che se prenso un x in quell'intorno individuato da x' e δ avrò un valore che cade nell'intorno delle ordinate stabilito da ε. Scritto rigorosamente avrei $|x-x'|<δ$ e qui sorge il mio dubbio: ma il delta non dovrebbe essere diverso tra sinistra e destra? Se la funzione fosse simmetrica sono d'accordo, (un ε avrò un δ) ma se una parte è più schiacciata verso x' allora consegue che un epsilon mi farà trovare due δ distinti..(graficamente: https://imageshack.com/i/pmZiO2oej )
2) Il secondo dubbio invece è questo:prendiamo un limite finito all'infinito. Facciamo sia questo pessimo disegno il grafico della funzione (paint-art, scusate!). La definizione mi dice che per qualunque ε>0 è verificato che prendendo un x maggiore si un M(ε)>0 (delle ascisse) che verifica $|f(x)-c'|<ε (intendendo c come il punto sulleordinate a cui tende il limite). E' evidente che prendendo un ε grande che mi individua un M che prende dentro quel cambio di monotonia crescente del grafico la definizione non varrà (dice per qualunque ε, che sì di solito prendo "piccola a piacere" per giungere allo scopo, ma in via teoria è "per ogni" e qui non varrebbe).
In realtà il grafico rompe la condizione imposta dalla definizione, ma è evidente che converge. Come si ovvia a questo problema nella definizione?
Grazie a tutti!
Risposte
"staultz":
1) ... mi farà trovare due δ distinti..
Ti basta prendere il minore dei due e sei a posto ...
"staultz":
2) ... E' evidente che prendendo un ε grande che mi individua un M che prende dentro quel cambio di monotonia crescente del grafico la definizione non varrà ...
È evidente dove? Guarda che è $epsilon$ che puoi prendere a piacere non $M$ ...
"staultz":
Buon sabato utenti
Vorrei porvi due domande sul concetto di limite:
1) La prima riguarda il concetto di limite infinito al finito, e come esempio prendiamo una funzione che abbia dominio con punto di accumulazione x'. Bene, "andando verso" x' a sinistra di esso un ramo va a +infinito, in modo identico anche a sinistra di x' la funzione va a + infinito ma si avvicina più rapidamente a x'. Nella definizione di limite (non sto a scriverla tutta ma solo il pnto che no mi è chiaro) dice che preso un ε avrò un δ (parametro di controllo sulle ascisse dipendente da epsilon) tale che se prenso un x in quell'intorno individuato da x' e δ avrò un valore che cade nell'intorno delle ordinate stabilito da ε. Scritto rigorosamente avrei $|x-x'|<δ$ e qui sorge il mio dubbio: ma il delta non dovrebbe essere diverso tra sinistra e destra? Se la funzione fosse simmetrica sono d'accordo, (un ε avrò un δ) ma se una parte è più schiacciata verso x' allora consegue che un epsilon mi farà trovare due δ distinti..(graficamente: https://imageshack.com/i/pmZiO2oej )
Basta che prendi $\delta$ come il piu' piccolo tra $\delta_1$ e $\delta_2$ e hai la definizione simmetrica, che equivale alla definizione asimmetrica. Questa simmetria in effetti si perde quando vedrai la definizione piu' generale di limite possibile, che si da' negli spazi topologici.
"staultz":
2) Il secondo dubbio invece è questo:prendiamo un limite finito all'infinito. Facciamo sia questo pessimo disegno il grafico della funzione https://imageshack.com/i/pocuV9aAp XD(paint-art, scusate!). La definizione mi dice che per qualunque ε>0 è verificato che prendendo un x maggiore si un M(ε)>0 (delle ascisse) che verifica $|f(x)-c'|<ε (intendendo c come il punto sulleordinate a cui tende il limite). E' evidente che prendendo un ε grande che mi individua un M che prende dentro quel cambio di monotonia crescente del grafico la definizione non varrà (dice per qualunque ε, che sì di solito prendo "piccola a piacere" per giungere allo scopo, ma in via teoria è "per ogni" e qui non varrebbe).
In realtà il grafico rompe la condizione imposta dalla definizione, ma è evidente che converge. Come si ovvia a questo problema nella definizione?
Non capisco perche' qui dici che la definizione non vale: occhio che essa recita che per ogni $\varepsilon>0$ esiste $M$ ecc...
Beh che dire, grazie ad entrambi per la celerità
Allora per il punto 1 immaginavo fosse così, però volevo capire se era "formalmente corretto" interpretarlo in quel,mi avete tolto da un impiccio.
Per la due devo essermi spiegato malissimo dato che in due non avete afferrato il dubbioe vi chiedo venia per la poca chiarezza espositiva che mi appertiene (ahimé).
Ci riprovo sperando di non tediarvi troppo..
In realtà ho fatto male il disegno, ma volevo far notare che per epsilon piccoli funziona,ma se prendo un epsilon un po' grande - tanto da arrivare al punto dove c'è "l'affossamento" nel grafico - a quello corrispondera un M(ε) per cui se scelgo xmaggiori di M non soddisferanno $|f(x)-c|<ε$ Provo a rifare il disegno che credo portasse fuori strada. "L'ε a piacere può esser molto grande" https://imageshack.com/i/poAyzK00j
Buon sabato sera.
Allora per il punto 1 immaginavo fosse così, però volevo capire se era "formalmente corretto" interpretarlo in quel,mi avete tolto da un impiccio.
Per la due devo essermi spiegato malissimo dato che in due non avete afferrato il dubbioe vi chiedo venia per la poca chiarezza espositiva che mi appertiene (ahimé).
Ci riprovo sperando di non tediarvi troppo..
In realtà ho fatto male il disegno, ma volevo far notare che per epsilon piccoli funziona,ma se prendo un epsilon un po' grande - tanto da arrivare al punto dove c'è "l'affossamento" nel grafico - a quello corrispondera un M(ε) per cui se scelgo xmaggiori di M non soddisferanno $|f(x)-c|<ε$ Provo a rifare il disegno che credo portasse fuori strada. "L'ε a piacere può esser molto grande" https://imageshack.com/i/poAyzK00j
Buon sabato sera.
La risposta e' la stessa: $M$ dipende da $\varepsilon$, il problema e' che tu dai una dipendenza che non fa funzionare la definizione, puoi anche prendere $\varepsilon$ grandissimo, la definizione torna se $M$ lo prendi abbastanza grande.
Il fatto è che la dipendenza di M da epsilon mi pare di vederla come una funzione inversa del valore di y correlata ad ε.
Vedo di fare un esempio comodo (limite finito al finito) ma in realtà vale concettualmente anche per questo caso che è dove mi nasce il problema:
https://imageshack.com/i/pmltc3IPj
Il fatto che il delta sulle x "dipenda" vuol dire che non posso sceglierlo a "piacere" ma è in funzione di epsilon appunto.
Ma che rapporto ha con ε? Mi pareva di intuire che si tratta del valore di (c+ε), chiamiamolo y', in cui faccio la funzione inversa della f(x) in sostanza ottenendo così una x' (che è la coordinata sulle ascisse del centro del mio intorno bucato x° diù il delta).
Prendendo un esempio concreto:
lim(x-->1)x^2=c
con c=1
verificandolo per definizione noto che:
$|x^2-1|<ε$
tolgo il modulo solo da una parte ma simmetricamente sarebbe identico:
$sqrt(x^2)
$x-1
Un po'contorto ma mi sembra che δ è in qualche modo legato al mio epsilon a meno della funzione inversa nel punto c+epsilon.
Questo per dire che mi pare si scelga il delta, così come M nel caso del post precedente in funzione della funzione stessa.
Graficamente https://imageshack.com/i/potzOxTNj
mi pare che non sia possibile associare a ε(nera) un M(rossa) così che la x(rossa) finisca con f(x) (rossa) nell'intorno di più infinito. Ad M(rossa) corrisponderà ε1(verde).
Forse nasce qui il problema.
Vedo di fare un esempio comodo (limite finito al finito) ma in realtà vale concettualmente anche per questo caso che è dove mi nasce il problema:
https://imageshack.com/i/pmltc3IPj
Il fatto che il delta sulle x "dipenda" vuol dire che non posso sceglierlo a "piacere" ma è in funzione di epsilon appunto.
Ma che rapporto ha con ε? Mi pareva di intuire che si tratta del valore di (c+ε), chiamiamolo y', in cui faccio la funzione inversa della f(x) in sostanza ottenendo così una x' (che è la coordinata sulle ascisse del centro del mio intorno bucato x° diù il delta).
Prendendo un esempio concreto:
lim(x-->1)x^2=c
con c=1
verificandolo per definizione noto che:
$|x^2-1|<ε$
tolgo il modulo solo da una parte ma simmetricamente sarebbe identico:
$sqrt(x^2)
$x-1
Un po'contorto ma mi sembra che δ è in qualche modo legato al mio epsilon a meno della funzione inversa nel punto c+epsilon.
Questo per dire che mi pare si scelga il delta, così come M nel caso del post precedente in funzione della funzione stessa.
Graficamente https://imageshack.com/i/potzOxTNj
mi pare che non sia possibile associare a ε(nera) un M(rossa) così che la x(rossa) finisca con f(x) (rossa) nell'intorno di più infinito. Ad M(rossa) corrisponderà ε1(verde).
Forse nasce qui il problema.
Sbagli ancora: per ogni $\varepsilon$ esiste $M$... alla $\varepsilon$ nera associ la $M$ rossa e tutto torna.
Grazie,
quindi è lì l'errore, non associo ad M l'inversa corrispettiva alla coordinata del mio epsilon + il punto c!? Però scusa, concettualmente quando faccio la verifica del limite, tramite definizione, come nel post sopra, io vado proprio a verificare che esiste un delta, e guardacaso è proprio l'inverso della funzione che ha valore 9 delle y (cioè ɛ+1) che mi darà infatti il valore dell'inversa che è 3 e sottraendolo a 1 arrivo a trovare il delta che è 2. Cioè non trovo un delta(rosso) a caso, ma trovo un univoco delta che ha questa proprietà nei confronti di espilon. https://imageshack.com/i/poGCQdXgp
Altro esempio: se potessi far corrispondere qualunque delta con una relazione random a un epsilon a piacere, parimenti arriverei a dire per assurdo che questa funzione https://imageshack.com/i/poJ7OavAj è continua in x' , tanto associo il valore delta che voglio, quindi quei due delta verificano la relazione
Mi sembra invece che epsilon e delta, così come epsilon ed M siano vincolate nella scelta dalla mia funzione, non posso asociarne valori per farmi tornare il tutto..
Non capisco dove sbaglio :K
Forse il tutto sta nel fatto che nel limite finito al finito la relazione sottostà a quello che dicevo io (delta dipende da epsilon a meno della funzione inversa), mentre la relazione che lega M a epsilon nel'altro tipo di limite (infinito al finito) posso trovare una relazione randomica che lega epsilon ad M,basta che funzioni?
quindi è lì l'errore, non associo ad M l'inversa corrispettiva alla coordinata del mio epsilon + il punto c!? Però scusa, concettualmente quando faccio la verifica del limite, tramite definizione, come nel post sopra, io vado proprio a verificare che esiste un delta, e guardacaso è proprio l'inverso della funzione che ha valore 9 delle y (cioè ɛ+1) che mi darà infatti il valore dell'inversa che è 3 e sottraendolo a 1 arrivo a trovare il delta che è 2. Cioè non trovo un delta(rosso) a caso, ma trovo un univoco delta che ha questa proprietà nei confronti di espilon. https://imageshack.com/i/poGCQdXgp
Altro esempio: se potessi far corrispondere qualunque delta con una relazione random a un epsilon a piacere, parimenti arriverei a dire per assurdo che questa funzione https://imageshack.com/i/poJ7OavAj è continua in x' , tanto associo il valore delta che voglio, quindi quei due delta verificano la relazione
Mi sembra invece che epsilon e delta, così come epsilon ed M siano vincolate nella scelta dalla mia funzione, non posso asociarne valori per farmi tornare il tutto..
Non capisco dove sbaglio :K
Forse il tutto sta nel fatto che nel limite finito al finito la relazione sottostà a quello che dicevo io (delta dipende da epsilon a meno della funzione inversa), mentre la relazione che lega M a epsilon nel'altro tipo di limite (infinito al finito) posso trovare una relazione randomica che lega epsilon ad M,basta che funzioni?
Per tutte le definizioni non e' detto che funzioni l'inversa, funziona se la funzione e' invertibile nella zona che ti interessa, quando quindi non cambia monotonia. La definizione di limite non vede questo.
Ti tingrazio per la pazienza, in effetti mi ero incartato in una cosa piuttosto semplice.
Grazie per aver fatto chiarezza, ora mi torna ^^
Buona serata
Grazie per aver fatto chiarezza, ora mi torna ^^
Buona serata
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