Due domande sugli spazi p-sommabili

[5mrkv]

$1.$ Devo determinare il dominio di una applicazione. Ho $c\in l^{2}$ ed $A$ tale che che $A:(c_{0},c_{1},c_{2},...)\rightarrow (\sqrt{1}c_{1},\sqrt{2}c_{2},\sqrt{3}c_{3},...)$. Il dominio di $A$ è composto dai punti di $l^{2}$ tali che $Ac\in l^2$ e quindi \[\sum_{n=1}^{\infty}|\sqrt{n}c_{n}|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}|\sqrt{n}|^{2}|c_{n}|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}n|c_{n}|^{2}<\infty\] Si può esprimere una condizione per la p-sommabilità sui singoli termini della serie? Quale criterio utilizzare?

$2.$ Ho $f(x)=\sin \omega x$ quando $|x|T$. Devo mostrare che appartiene ad $L^{2}(\mathbb{R})$. La funzione è continua su un insieme limitato. La soluzione dice che l'applicazione è continua su un compatto ed è p-sommabile (funzione continua su un compatto, allora integro un insieme compatto). Estende con continuità l'applicazione su tutta la chiusura dell'insieme $|x|

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Risposte

dissonance

1 mar 2012, 13:19

1) No, te la tieni così. Cosa vuoi fare di meglio?

2) Giusto. Della chiusura qui ci importa poco, visto che differisce da \(\{x \ :\ \lvert x \rvert

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gugo82

1 mar 2012, 15:56

@5mrkv: Anche la funzione:
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\text{, se } |x|<1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è a supporto compatto, ed è continua all'interno del suo supporto; tuttavia essa non è in \(L^2(\mathbb{R})\).

Quindi per la domanda 2) si può dire che ci sei quasi, ma hai bisogno di giustificare meglio la risposta.

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5mrkv

3 mar 2012, 11:22

"dissonance":1) No, te la tieni così. Cosa vuoi fare di meglio?

I termini $|c_{n}|^{2}$ vengono moltiplicati per $n$ quindi devono compensare questa crescita. Io voglio caratterizzare $c_{n}$ e dire, solo questi $c_{n}$ t.c. ... fanno parte del dominio dell'applicazione.

"gugo82":@5mrkv: Anche la funzione:
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\text{, se } |x|<1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è a supporto compatto, ed è continua all'interno del suo supporto; tuttavia essa non è in \(L^2(\mathbb{R})\).

Quindi per la domanda 2) si può dire che ci sei quasi, ma hai bisogno di giustificare meglio la risposta.

Dovrei fare lo stesso discorso con $|f(x)|^{p}$ invece di $f(x)$?

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[dissonance]

1) No, te la tieni così. Cosa vuoi fare di meglio?

2) Giusto. Della chiusura qui ci importa poco, visto che differisce da \(\{x \ :\ \lvert x \rvert

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[gugo82]

@5mrkv: Anche la funzione:
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\text{, se } |x|<1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è a supporto compatto, ed è continua all'interno del suo supporto; tuttavia essa non è in \(L^2(\mathbb{R})\).

Quindi per la domanda 2) si può dire che ci sei quasi, ma hai bisogno di giustificare meglio la risposta.

[5mrkv]

"dissonance":1) No, te la tieni così. Cosa vuoi fare di meglio?

I termini $|c_{n}|^{2}$ vengono moltiplicati per $n$ quindi devono compensare questa crescita. Io voglio caratterizzare $c_{n}$ e dire, solo questi $c_{n}$ t.c. ... fanno parte del dominio dell'applicazione.

"gugo82":@5mrkv: Anche la funzione:
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\text{, se } |x|<1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è a supporto compatto, ed è continua all'interno del suo supporto; tuttavia essa non è in \(L^2(\mathbb{R})\).

Quindi per la domanda 2) si può dire che ci sei quasi, ma hai bisogno di giustificare meglio la risposta.

Dovrei fare lo stesso discorso con $|f(x)|^{p}$ invece di $f(x)$?