Due domande su spazi funzionali

[5mrkv]

$1.$ Devo mostrare che una funzione $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$ a supporto compatto e limitata quasi ovunque è p-sommabile. La funzione è definita quindi su un insieme del tipo $[-K,K]$. Direi, ma non so se è giusto scritto così:
\[
||f||_{p}^{p}=\int_{-K}^{K}|f(x)|^{p}dx \leq sup|f(x)|^{p}\int_{-K}^{K}dx\leq sup|f(x)|^{p}2K<\infty
\]

$2.$ Mi serve una funzione p-sommabile ma non limitata e quindi in particolare non limitata q.o. e non tende a zero all'infinito. Ho come esempio con $\epsilon>0$ $h(x)=|x|^{-(1-\epsilon) \/ p}$ quando $|x|\leq K$, altrimenti nulla. Non capisco l'integrazione al terzo passaggio:
\[
||f||_{p}^{p}=\int_{-K}^{K}|f(x)|^{p}dx=2\int_{0}^{K}\frac{1}{x^{1-\epsilon}}dx=2\frac{K^{\epsilon}}{\epsilon}<\infty
\]
Avrei detto
\[
2\int_{0}^{K}\frac{1}{x^{1-\epsilon}}dx=2\int_{0}^{K}\frac{1}{x\delta}dx=\frac{2}{\delta}\int_{0}^{K}\frac{1}{x}dx=
\frac{2}{\delta}[ln(x)]_{0}^{K}=BOOM
\]
Giusto per dire di averci provato, si vede che non posso portare fuori $\delta$ che dipende da $x$. Non so come integrare.

[Paolo902]

Direi che, nella 2, ti basta osservare che $1/x^{1-epsilon}=x^{epsilon-1}$ e integrare come una normalissima potenza di $x$ (direi che è un integrale più che notevole ).

[dissonance]

Un suggerimento per la 2):

post351802.html#p351802

[5mrkv]

Grazie ad entrambi.