Due ardue lipschitzianità
Buona sera.
Mi ritrovo a dover dimostrare la lipschitzianità delle seguenti due funzioni:
\(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2 \) con X appartenente a I=[1,2]
e anche
\(\displaystyle f(x,y)=1/(1+x^2)-2*y^2 \) con x>3/2
La derivata parziale rispetto y (sono entrambe funzioni estratte da problemi di Cauchy) sembra risultare non limitata.
Infatti nel primo caso:
\(\displaystyle fy=-2y \) mentre nel secondo abbiamo \(\displaystyle fy=-4y \).
Cercando la costante di Lipschitz mediante studi sulle disuguaglianze dei moduli non giungo a nessun risultato.
Infatti per la prima funzione ho eseguito questo ragionamento:
Partendo da: \(\displaystyle |f(x,y1)-f(x,y2)|<=L*|y1-y2| \)
\(\displaystyle |x^2-(y1)^2-x^2+(y2)^2|=|(y2)^2-(y1)^2| = | (y2+y1)*(y2-y1)| \)
Tuttavia non avendo informazioni sull'entità della funzione \(\displaystyle y(x) \) non posso esprimere nessuna maggiorazione e quindi non riesco a ricavare L.
Qualcuno saprebbe suggerirmi?
Mi ritrovo a dover dimostrare la lipschitzianità delle seguenti due funzioni:
\(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2 \) con X appartenente a I=[1,2]
e anche
\(\displaystyle f(x,y)=1/(1+x^2)-2*y^2 \) con x>3/2
La derivata parziale rispetto y (sono entrambe funzioni estratte da problemi di Cauchy) sembra risultare non limitata.
Infatti nel primo caso:
\(\displaystyle fy=-2y \) mentre nel secondo abbiamo \(\displaystyle fy=-4y \).
Cercando la costante di Lipschitz mediante studi sulle disuguaglianze dei moduli non giungo a nessun risultato.
Infatti per la prima funzione ho eseguito questo ragionamento:
Partendo da: \(\displaystyle |f(x,y1)-f(x,y2)|<=L*|y1-y2| \)
\(\displaystyle |x^2-(y1)^2-x^2+(y2)^2|=|(y2)^2-(y1)^2| = | (y2+y1)*(y2-y1)| \)
Tuttavia non avendo informazioni sull'entità della funzione \(\displaystyle y(x) \) non posso esprimere nessuna maggiorazione e quindi non riesco a ricavare L.
Qualcuno saprebbe suggerirmi?
Risposte
Probabilmente hai visto un risultato di questo tipo:
se \(f\in C^1(A)\), con \(A\subseteq\mathbb{R}^2\) aperto, (vale a dire, se \(f\) ha derivate parziali continue in \(A\)), allora \(f\) è Lipschitziana in ogni compatto contenuto in \(A\).
In entrambi i casi è sufficiente utilizzare questo risultato.
se \(f\in C^1(A)\), con \(A\subseteq\mathbb{R}^2\) aperto, (vale a dire, se \(f\) ha derivate parziali continue in \(A\)), allora \(f\) è Lipschitziana in ogni compatto contenuto in \(A\).
In entrambi i casi è sufficiente utilizzare questo risultato.
"Rigel":
Probabilmente hai visto un risultato di questo tipo:
se \(f\in C^1(A)\), con \(A\subseteq\mathbb{R}^2\) aperto, (vale a dire, se \(f\) ha derivate parziali continue in \(A\)), allora \(f\) è Lipschitziana in ogni compatto contenuto in \(A\).
In entrambi i casi è sufficiente utilizzare questo risultato.
Dunque se ho una \(\displaystyle f \) continua e derivabile in un certo compatto posso sempre concludere che sia Lipschitziana?
"tmox":
Dunque se ho una \(\displaystyle f \) continua e derivabile in un certo compatto posso sempre concludere che sia Lipschitziana?
Se \(f\) è continua e derivabile parzialmente con derivate parziali anch'esse continue la risposta è affermativa.
"Rigel":
[quote="tmox"]Dunque se ho una \(\displaystyle f \) continua e derivabile in un certo compatto posso sempre concludere che sia Lipschitziana?
Se \(f\) è continua e derivabile parzialmente con derivate parziali anch'esse continue la risposta è affermativa.[/quote]
Il mio testo riporta il seguente esempio:
\(\displaystyle y'=(3/2)*y^{1/3} \) affermando che tale funzione \(\displaystyle f=(3/2)*y^{1/3}\) NON è lipschitziana. Tuttavia la derivata parziale dovrebbe essere continua. O sbaglio?
"tmox":
[quote="Rigel"][quote="tmox"]Dunque se ho una \(\displaystyle f \) continua e derivabile in un certo compatto posso sempre concludere che sia Lipschitziana?
Se \(f\) è continua e derivabile parzialmente con derivate parziali anch'esse continue la risposta è affermativa.[/quote]
Il mio testo riporta il seguente esempio:
\(\displaystyle y'=(3/2)*y^{1/3} \) affermando che tale funzione \(\displaystyle f=(3/2)*y^{1/3}\) NON è lipschitziana. Tuttavia la derivata parziale dovrebbe essere continua. O sbaglio?[/quote]
Quella funzione non è derivabile in \(y=0\). (Non è Lipschitziana su tutto \(\mathbb{R}\), ma lo è su ogni insieme che non contenga un intorno dell'origine.)
Ok, forse ho una piccola dimenticanza su questa questione. Posso dire che \(\displaystyle f \) in y=0 si annulla. Ma la derivata non sarebbe semplicemente 0? Perchè possiamo dire che non è derivabile in 0?
"tmox":
Ok, forse ho una piccola dimenticanza su questa questione. Posso dire che \(\displaystyle f \) in y=0 si annulla. Ma la derivata non sarebbe semplicemente 0? Perchè possiamo dire che non è derivabile in 0?
Il limite del rapporto incrementale in \(y=0\) vale \(+\infty\); di conseguenza, per definizione la funzione non è derivabile in quel punto.
Bene. Dunque deduco che l'esistenza di derivate parziali continue sia una condizione Necessaria e Sufficente alla Lipschitzianità. Giusto?
P.S. Possibile che debba controllare la derivabilità con il rapporto incrementale in ognuno di questi esercizi?
Anche il seguente caso sembra contraddittorio.
Abbiamo il problema di Cauchy:
\(\displaystyle y'=|y-x| \)
\(\displaystyle y(0)=2 \)
\(\displaystyle S=[0,2] \)x\(\displaystyle R \)
Risulta che la derivata parziale vale \(\displaystyle |fy|=1 , \) per x DIVERSO da y, mentre invece la derivata NON è definita per \(\displaystyle x=y \). Il testo afferma: Poichè \(\displaystyle fy\) risulta limitata per x diverso da y, si può concludere che \(\displaystyle f(x,y) \) è lipschitziana in S con costante di Lipschitz pari a 1.
Perchè se abbiamo una derivata parziale non definita vale la lipschitzianità su tutto \(\displaystyle S \)?
P.S. Possibile che debba controllare la derivabilità con il rapporto incrementale in ognuno di questi esercizi?
Anche il seguente caso sembra contraddittorio.
Abbiamo il problema di Cauchy:
\(\displaystyle y'=|y-x| \)
\(\displaystyle y(0)=2 \)
\(\displaystyle S=[0,2] \)x\(\displaystyle R \)
Risulta che la derivata parziale vale \(\displaystyle |fy|=1 , \) per x DIVERSO da y, mentre invece la derivata NON è definita per \(\displaystyle x=y \). Il testo afferma: Poichè \(\displaystyle fy\) risulta limitata per x diverso da y, si può concludere che \(\displaystyle f(x,y) \) è lipschitziana in S con costante di Lipschitz pari a 1.
Perchè se abbiamo una derivata parziale non definita vale la lipschitzianità su tutto \(\displaystyle S \)?
"tmox":
Bene. Dunque deduco che l'esistenza di derivate parziali continue sia una condizione Necessaria e Sufficente alla Lipschitzianità. Giusto?
Sbagliato. E' condizione sufficiente.
Anche il seguente caso sembra contraddittorio.
Abbiamo il problema di Cauchy:
\(\displaystyle y'=|y-x| \)
\(\displaystyle y(0)=2 \)
\(\displaystyle S=[0,2] \)x\(\displaystyle R \)
Risulta che la derivata parziale vale \(\displaystyle |fy|=1 , \) per x DIVERSO da y, mentre invece la derivata NON è definita per \(\displaystyle x=y \). Il testo afferma: Poichè \(\displaystyle fy\) risulta limitata per x diverso da y, si può concludere che \(\displaystyle f(x,y) \) è lipschitziana in S con costante di Lipschitz pari a 1.
Perchè se abbiamo una derivata parziale non definita vale la lipschitzianità su tutto \(\displaystyle S \)?
La funzione \(f(x,y) = |y-x|\) è Lipschitziana nonostante non sia derivabile parzialmente ovunque.
La Lipschitzianità può essere verificata direttamente tramite la definizione, oppure osservando che \(f\) è la composizione delle funzioni Lipschitziane \(g(x,y) = y-x\) e \(h(t) = |t|\).
P.S.: nel caso delle equazioni differenziali è sufficiente verificare la Lipschitzianità rispetto alla sola variabile \(y\), uniformemente rispetto alla \(x\). Per questo motivo è sufficiente verificare che \(f\) e la sua derivata parziale \(f_y\) siano continue per fare in modo che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.
Nel caso in esame questa condizione sufficiente non può essere applicata. Tuttavia, la funzione \(y \mapsto |y-x|\) è Lipschitziana, con costante di Lipschitz \(1\), per ogni \(x\) fissato, quindi soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.
"Rigel":
[quote="tmox"]Bene. Dunque deduco che l'esistenza di derivate parziali continue sia una condizione Necessaria e Sufficente alla Lipschitzianità. Giusto?
Sbagliato. E' condizione sufficiente.
Anche il seguente caso sembra contraddittorio.
Abbiamo il problema di Cauchy:
\(\displaystyle y'=|y-x| \)
\(\displaystyle y(0)=2 \)
\(\displaystyle S=[0,2] \)x\(\displaystyle R \)
Risulta che la derivata parziale vale \(\displaystyle |fy|=1 , \) per x DIVERSO da y, mentre invece la derivata NON è definita per \(\displaystyle x=y \). Il testo afferma: Poichè \(\displaystyle fy\) risulta limitata per x diverso da y, si può concludere che \(\displaystyle f(x,y) \) è lipschitziana in S con costante di Lipschitz pari a 1.
Perchè se abbiamo una derivata parziale non definita vale la lipschitzianità su tutto \(\displaystyle S \)?
La funzione \(f(x,y) = |y-x|\) è Lipschitziana nonostante non sia derivabile parzialmente ovunque.
La Lipschitzianità può essere verificata direttamente tramite la definizione, oppure osservando che \(f\) è la composizione delle funzioni Lipschitziane \(g(x,y) = y-x\) e \(h(t) = |t|\).
P.S.: nel caso delle equazioni differenziali è sufficiente verificare la Lipschitzianità rispetto alla sola variabile \(y\), uniformemente rispetto alla \(x\). Per questo motivo è sufficiente verificare che \(f\) e la sua derivata parziale \(f_y\) siano continue per fare in modo che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.
Nel caso in esame questa condizione sufficiente non può essere applicata. Tuttavia, la funzione \(y \mapsto |y-x|\) è Lipschitziana, con costante di Lipschitz \(1\), per ogni \(x\) fissato, quindi soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.[/quote]
Ok, bene. La condizione sufficiente citata dal docente afferma che l'esistenza di una derivata parziale \(\displaystyle fy \) LIMITATA nel compatto "S" (parliamo di eq. differenziali) è indice di Lipschitzianità (condizione sufficente).
Vorrei sottoporre un ultimo esempio per verificare di aver capito.
\(\displaystyle f(x,y)=x^2-(y-a)^2 \) in \(\displaystyle S=[-2,-1] \)x\(\displaystyle R\)
La derivata parziale rispetto \(\displaystyle y \) è \(\displaystyle fy= -2(y-a) \) con \(\displaystyle a \) costante.
Dunque NON posso affermare che \(\displaystyle fy \) è limitata in quanto \(\displaystyle y \) appartiene a \(\displaystyle R \)
Tuttavia, poichè \(\displaystyle f(x,y) \) è continua e derivabile in \(\displaystyle S \), questo è sufficiente ad affermare che la funzione è Lipschitziana. Ci siamo?
P.S. Che \(\displaystyle f \) sia continua è dovuto al fatto che è composta da funzioni altrettanto continue. Il fatto che sia derivabile non saprei tuttavia dimostrarlo. C'è una via alternativa al limite del rapporto incrementale? Non posso basarmi sul bisogno di saper calcolare ogni tipo di limite possibile e immaginabile...
"tmox":
Vorrei sottoporre un ultimo esempio per verificare di aver capito.
\(\displaystyle f(x,y)=x^2-(y-a)^2 \) in \(\displaystyle S=[-2,-1] \)x\(\displaystyle R\)
La derivata parziale rispetto \(\displaystyle y \) è \(\displaystyle fy= -2(y-a) \) con \(\displaystyle a \) costante.
Dunque NON posso affermare che \(\displaystyle fy \) è limitata in quanto \(\displaystyle y \) appartiene a \(\displaystyle R \)
Tuttavia, poichè \(\displaystyle f(x,y) \) è continua e derivabile in \(\displaystyle S \), questo è sufficiente ad affermare che la funzione è Lipschitziana. Ci siamo?
Puoi affermare che è localmente Lipschitziana in \(y\) uniformemente rispetto a \(x\), ma questo è quanto basta per quanto riguarda esistenza e unicità per i problemi di Cauchy.
P.S. Che \(\displaystyle f \) sia continua è dovuto al fatto che è composta da funzioni altrettanto continue. Il fatto che sia derivabile non saprei tuttavia dimostrarlo. C'è una via alternativa al limite del rapporto incrementale? Non posso basarmi sul bisogno di saper calcolare ogni tipo di limite possibile e immaginabile...
Beh, in questo caso \(f\) è un polinomio; dovresti già sapere che è di classe \(C^{\infty}\), così come già sai (perché ti è stato dimostrato in precedenza) che è continua senza dover calcolare limiti.
Molto bene, ma mi manca ancora di saper dire con certezza che la lipschitziaità NON è verificata.
Nel caso in cui non possa affermare che \(\displaystyle fy \) è limitata, e inoltre \(\displaystyle f(x,y) \) risulta NON derivabile in un punto dell'intervallo, posso dire che la funzione NON è Lipschitziana? Oppure dovrei compiere altre verifiche?
Ho bisogno di saper valutare con certezza quando una funzione non è Lipschitziana in un certo compatto (quasi sempre \(\displaystyle [x0,x0+B]xR \)) poichè nel mio esame di Metodi Numerici questo significherà dover rispondere "il problema di Cauchy in questione non può essere studiato con il metodo TOT, in quanto \(\displaystyle f \) non è Lipschitziana".
Nel caso in cui non possa affermare che \(\displaystyle fy \) è limitata, e inoltre \(\displaystyle f(x,y) \) risulta NON derivabile in un punto dell'intervallo, posso dire che la funzione NON è Lipschitziana? Oppure dovrei compiere altre verifiche?
Ho bisogno di saper valutare con certezza quando una funzione non è Lipschitziana in un certo compatto (quasi sempre \(\displaystyle [x0,x0+B]xR \)) poichè nel mio esame di Metodi Numerici questo significherà dover rispondere "il problema di Cauchy in questione non può essere studiato con il metodo TOT, in quanto \(\displaystyle f \) non è Lipschitziana".
Se una funzione è derivabile in un intervallo e Lipschitziana, la sua derivata è limitata (in modulo è \(\leq\) della costante di Lipschitz). Di conseguenza, se una funzione è derivabile in un intervallo ma la sua derivata non è limitata, la funzione NON è Lipschitziana.
Nel caso di \(f(y) = y^{1/3}\), la funzione è derivabile in \((0,a)\) (con \(a>0\)) ma la sua derivata non è limitata; stesso ragionamento negli intervalli del tipo \((-a, 0)\). Di conseguenza, \(f\) non è Lipschitziana in tale intervallo, e quindi nemmeno in nessun insieme che contenga tale intervallo.
In particolare, \(f\) non è Lipschitziana in nessun intervallo contenente l'origine.
Nel caso di \(f(y) = y^{1/3}\), la funzione è derivabile in \((0,a)\) (con \(a>0\)) ma la sua derivata non è limitata; stesso ragionamento negli intervalli del tipo \((-a, 0)\). Di conseguenza, \(f\) non è Lipschitziana in tale intervallo, e quindi nemmeno in nessun insieme che contenga tale intervallo.
In particolare, \(f\) non è Lipschitziana in nessun intervallo contenente l'origine.
"Rigel":
Nel caso di \(f(y) = y^{1/3}\), la funzione è derivabile in \((0,a)\) (con \(a>0\)) ma la sua derivata non è limitata; stesso ragionamento negli intervalli del tipo \((-a, 0)\). Di conseguenza, \(f\) non è Lipschitziana in tale intervallo, e quindi nemmeno in nessun insieme che contenga tale intervallo.
In particolare, \(f\) non è Lipschitziana in nessun intervallo contenente l'origine.
Il limite del rapporto incrementale di \(\displaystyle f(y) \) risulta infinito per \(\displaystyle y=0 \). Quindi non è derivabile in 0. Ma l'intervallo \(\displaystyle (0,a) \) non contiene 0 (parentesi tonda). Inoltre perchè la derivata non è limitata? Il tetto \(\displaystyle f'(a) \) non è il \(\displaystyle max f'(y) \)?
Per esempio:
\(\displaystyle y'= 1/(1+x^2) -2*y^2 \) con \(\displaystyle x=[0,1] \)
Troviamo che la funzione è derivabile in y appartenente a \(\displaystyle R \)
Eppure la derivata parziale non è limitata: \(\displaystyle fy=-4y \)
L'esercizio (dal testo) conclude che la \(\displaystyle f \) è Lipschitziana.
PS. E' sufficente dire "se la \(\displaystyle f(x,y) \) non è derivabile per y appartentente a \(\displaystyle R \) (intervallo) allora NON è lipschitziana in tale intervallo?"
Ad esempio, se ho: S=[0,5]x\(\displaystyle R \)
E la f(x,y) non è derivabile in \(\displaystyle y=0 \)
Posso concludere direttamente che non è lipschitziana? Oppure devo verificare anche se esiste L tale che:
\(\displaystyle |f(x,y1)-f(x,y2)|<=L|y1-y2| \)?
Quale ordine di verifiche occorre fare per dire se una \(\displaystyle f \) è o meno lipschitziana?
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