Dubbio versore
Ho un esercizio così fatto : Data la funzione $f(x,y)= lnx+sqrt(y)$ e il punto $(x 0 , y 0 ) = (1, 1)$ la direzione di massima pendenza di $f (x, y)$ è definita dal versore:
(a) $v = (1, 1)$
(b) $v = (2/sqrt(5) ,1/sqrt( 5))$
(c) v = $(1/sqrt(2)$ , $1/ sqrt(2))$
(d) nessuna delle precedenti risposte
Ho calcolato derivate parziali e gradiente, ma sinceramente non ho idea di come calcolare il versore..
(a) $v = (1, 1)$
(b) $v = (2/sqrt(5) ,1/sqrt( 5))$
(c) v = $(1/sqrt(2)$ , $1/ sqrt(2))$
(d) nessuna delle precedenti risposte
Ho calcolato derivate parziali e gradiente, ma sinceramente non ho idea di come calcolare il versore..
Risposte
Il gradiente di una funzione $f(x,y)$ è il vettore la cui direzione coincide con la direzione di massima pendenza del grafico di $f$. Un versore per definizione è un vettore di norma unitaria (preso un vettore, ottieni il versore divindendo il vettore per la norma del vettore stesso). A questo punto, come ottieni il versore di massima pendenza?
Calcolo le derivate parziali. $fx (x,y) = 1/x $ $fy ( x,y ) = 1 / 2sqrt(y) $
Ho trovato così il versore: $f(x,y) = ( 1/x , 1/2sqrt(y) )$ , lo posizione nel punto, quindi $f( 1,1 ) = ( 1 , 1/2 )$
Dopodichè ho provato qualche calcolo, ma non mi vengono corretti.
Ho fatto $( 1 / sqrt( 1 + (1/2)^2) ) * ( 1 . 1/2 )$
Ho trovato così il versore: $f(x,y) = ( 1/x , 1/2sqrt(y) )$ , lo posizione nel punto, quindi $f( 1,1 ) = ( 1 , 1/2 )$
Dopodichè ho provato qualche calcolo, ma non mi vengono corretti.
Ho fatto $( 1 / sqrt( 1 + (1/2)^2) ) * ( 1 . 1/2 )$
Prova a scrivere per bene le formule, basta inserirle tra due simboli del dollaro , è molto intuitivo...
Detto ciò, io svolgerei l'esercizio così:
Data la funzione $f(x,y) = ln x + sqrt(y)$ calcolare il versore che definisce la massima pendenza nel punto $(x_o , y_o) = (1,1)$
Come hai calcolato tu, il vettore gradiente è
$nabla f(x,y) = (1/x , 1/(2sqrt(y)))$
che nel punto $(1,1)$ vale appunto
$nabla f(1,1) = (1, 1/2)$
A questo punto il versore di massima pendenza è dato dal gradiente di $f$ in $(1,1)$ diviso il suo modulo (sarebbe più corretto dire norma, ma non ci dilunghiamo...). Calcoliamo quindi il modulo del gradiente nel punto $(1,1)$:
$|| nabla f(1,1) || = sqrt(1+ 1/4) = (sqrt(5))/2$
e dividiamo il gradiente per tale modulo (cioè dividiamo ogni componente per il modulo), che a me viene:
$hat(u) = (nabla f(1,1))/( || nabla f(1,1) || ) = ((2sqrt(5))/5 , (sqrt(5))/5)$
quindi la risposta giusta sarebbe la (b).
Detto ciò, io svolgerei l'esercizio così:
Data la funzione $f(x,y) = ln x + sqrt(y)$ calcolare il versore che definisce la massima pendenza nel punto $(x_o , y_o) = (1,1)$
Come hai calcolato tu, il vettore gradiente è
$nabla f(x,y) = (1/x , 1/(2sqrt(y)))$
che nel punto $(1,1)$ vale appunto
$nabla f(1,1) = (1, 1/2)$
A questo punto il versore di massima pendenza è dato dal gradiente di $f$ in $(1,1)$ diviso il suo modulo (sarebbe più corretto dire norma, ma non ci dilunghiamo...). Calcoliamo quindi il modulo del gradiente nel punto $(1,1)$:
$|| nabla f(1,1) || = sqrt(1+ 1/4) = (sqrt(5))/2$
e dividiamo il gradiente per tale modulo (cioè dividiamo ogni componente per il modulo), che a me viene:
$hat(u) = (nabla f(1,1))/( || nabla f(1,1) || ) = ((2sqrt(5))/5 , (sqrt(5))/5)$
quindi la risposta giusta sarebbe la (b).
Ok, grazie mille. Ho capito ora gli errori, poco per volta spero di tappare tutte queste lacune..
Il risultato finale è quindi $( 2/sqrt5 , 1/sqrt5 )$
Il risultato finale è quindi $( 2/sqrt5 , 1/sqrt5 )$
Si, avevo scritto $y$ invece di $5$ nel risultato finale. Ho corretto il messaggio.
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