Dubbio uniforme equicontinuità vs equicontinuità
Ciao a tutti!
Nei miei appunti ho scritto:
Una famiglia $\mathcal F$ di funzioni continue da $A\subset \mathbb{R}^n$ in $\mathbb R$ è EQUICONTINUA se
qualsiasi sia $\epsilon > 0$ esiste $\delta >0$ tale che $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ qualsiasi sia $f \in \mathcal F$, qualsiasi siano $x,y\in A$ con $|x-y|< \delta.$
Ma questa non è la definizione di UNIFORME EQUICONTINUITA'? Infatti mi sembrerebbe che, dalla definizione sopra, $\delta$ non dipenda dagli $x$ e $y$ scelti, ma semplicemente da $\epsilon$. Invece, mi sembra che Wikipedia dia una definizione di equicontinuità diversa, cioè quella che mi aspetto, con $\delta$ che dipende da $\epsilon$ e da $x$.
Inoltre nel teorema di Ascoli Arzelà, ho scritto, fra le altre cose, che una famiglia di funzioni continue $\mathcal F$ su un compatto $K\subset \mathbb R^n$ per essere compatta deve essere equicontinua. Ma allora qui intendo proprio equicontinua nel senso dei miei appunti, o equicontinua secondo wikipedia?
Nei miei appunti ho scritto:
Una famiglia $\mathcal F$ di funzioni continue da $A\subset \mathbb{R}^n$ in $\mathbb R$ è EQUICONTINUA se
qualsiasi sia $\epsilon > 0$ esiste $\delta >0$ tale che $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ qualsiasi sia $f \in \mathcal F$, qualsiasi siano $x,y\in A$ con $|x-y|< \delta.$
Ma questa non è la definizione di UNIFORME EQUICONTINUITA'? Infatti mi sembrerebbe che, dalla definizione sopra, $\delta$ non dipenda dagli $x$ e $y$ scelti, ma semplicemente da $\epsilon$. Invece, mi sembra che Wikipedia dia una definizione di equicontinuità diversa, cioè quella che mi aspetto, con $\delta$ che dipende da $\epsilon$ e da $x$.
Inoltre nel teorema di Ascoli Arzelà, ho scritto, fra le altre cose, che una famiglia di funzioni continue $\mathcal F$ su un compatto $K\subset \mathbb R^n$ per essere compatta deve essere equicontinua. Ma allora qui intendo proprio equicontinua nel senso dei miei appunti, o equicontinua secondo wikipedia?
Risposte
Cambia poco se $A$ è compatto (come nelle ipotesi del teorema di Ascoli-Arzelà). E' un esercizio dimostrare che una famiglia di funzioni puntualmente equicontinua su un dominio compatto è uniformemente equicontinua. Si tratta esattamente della stessa cosa del teorema di Heine-Cantor, secondo cui una funzione continua su un compatto è uniformemente continua.
Siccome il concetto di equicontinuità è strettamente collegato col teorema di Ascoli-Arzelà, che richiede domini compatti, il concetto di equicontinuità puntuale spesso si confonde con quello di equicontinuità uniforme e si parla genericamente di "equicontinuità".
Siccome il concetto di equicontinuità è strettamente collegato col teorema di Ascoli-Arzelà, che richiede domini compatti, il concetto di equicontinuità puntuale spesso si confonde con quello di equicontinuità uniforme e si parla genericamente di "equicontinuità".
Grazie dissonance 
Non avevo pensato al fatto che lavoriamo con compatti e al teorema di Heine Cantor.
Ora torna tutto.
Non avevo pensato al fatto che lavoriamo con compatti e al teorema di Heine Cantor. Ora torna tutto.
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