Dubbio trasformazione in coordinate polari

[zen341]

Ciao a tutti,
dovendo svolgere il seguente integrale doppio: $ int int_(D) (xy)/(sqrt(x^2+y^2)) $ dove $ D={ (x,y) in cc(R) ^2: x^2+y^2 leq 9, x^2+y^2 leq 1, y geq 0, y geq sqrt3/3 x } $.
Visto che ho a che fare con due circonferenze centrate in $ P(0,0) $ ho pensato di trasformare il tutto in coordinate polari in questo modo:
$ { (x= rho cos theta),(y= rho sen theta) :} $
trovando $ rho=\pm 3 $
ora mi sono bloccato perchè non so come trovare $theta $ pur conoscendo la relazione
$ cos^2 theta + sen^2 theta=1 $. ovviamente conoscendo $theta $ poi saprei continuare viste le altre condizioni...
Grazie in anticipo...

[Lorin1]

Sei sicuro di aver scritto bene le condizioni del dominio? Non riesco a capire il perchè della doppia condizione
$x^2+y^2<=9, x^2+y^2<=1$, dato che intersecandole viene la circonferenza più piccola. Non è che era

$1<=x^2+y^2<=9$?

[zen341]

ah si scusa la seconda è: $ x^2+y^2 geq 1 $

[Lorin1]

Dunque se provi a disegnare il tuo dominio dovrebbe uscirti una corona circolare tagliata da una retta, considerando solo il primo e secondo quadrante, ti trovi!?

[zen341]

sisi fino a qui si...

[Lorin1]

Perfetto.
Ora quando fai il passaggio a coordinate polari in pratica devi fissare gli intervalli dove varieranno le due nuove variabili, cioè $\rho, \theta$. Dal disegno è facile capirlo

[zen341]

ah ok più o meno ho capito, solo una cosa: l'angolo che io riesco a vedere ed estrapolare da un lato è $ pi $ e su questo non ci piove, ma in corrispondenza della retta, come faccio a stabilire se si tratta di $ pi/5 , 11/60 pi $ ecc... ? ci sarà pur un processo matematico per stabilirlo..è questo che non capisco!

[Lorin1]

In che quadrante ti trovi?!
Per stabilire l'angolo di partenza basta guardare la retta $y=sqrt(3)/3x$, guarda il coefficiente angolare e ricordati la definizione di derivata prima. Sostanzialmente basta che ti domandi qual è l'angolo la cui tangente fa $sqrt(3)/3$ e capisci qual è il primo valore che assume $\theta$

[zen341]

il grafico del dominio che ho prende una parte del primo quadrante e tutto il secondo (ovviamente all'interno della corona circolare). io so che il coefficente angolare della retta è $ sqrt(3)/3 $ quindi avrò un inclinazione di $ sqrt(3)/3 $. Ora ci sono. Una sola domanda: per trovare l'angolo la cui tangente è $ sqrt(3)/3 $ ho usato una tabella con i valori noti degli angoli più comuni che posso tranquillamente usare all'esame, ma se per caso non dovessi trovare l'angolo che cerco tra quelli noti, c'è un modo per risalire a che angolo si riferisce il coefficiente angolare (senza usare la calcolatrice)?

[Lorin1]

Beh basta che riscrivi la tua domanda tramite una relazione matematica. Tu in pratica quando cerchi l'angolo stai richiedendo la soluzione di $tg\theta=sqrt(3)/3$, quando il valore al secondo membro non è noto allora puoi impostare l'angolo utilizzando l'arcotangente, cioè $\theta=arctg(sqrt(3)/3)$

[zen341]

non fa una piega! Grazie mille...mi sei stato di grande aiuto, anzi mi hai salvato!

[Lorin1]

Di nulla!