Dubbio trasformata di Laplace!

[edomar1]

Salve a tutti ragazzi... In un'equazione differenziale mi è toccato trasformare la seguente funzione: $H(t)*e^(-t)*sin(2t+1)$ dove $H(t)$ è la funzione di Heaviside... Ho provato a procedere nel modo seguente!
Poiché il problema prevedeva di risolvere l'equazione per $t>0$ il termine $H(t)$ si può trascurare (in quanto $H(t)$ vale $1$)... La trasformata da calcolare sarebbe quindi:
$L(e^(-t)sin(2t+1))(s)$
Operando un cambiamento di variabili ($c=2t+1$, $t=(c-1)/2$) si ottiene:
$L(e^((1-c)/2)sinc)(s)=e^(1/2)L(e^(-c/2)sinc)(s)=e^(1/2)L(sinc)(s+1/2)=e^(1/2)*1/((s+1/2)^2+1)$.
Provando però a calcolare la trasformata con la definizione (con l'integrale...) ottengo un risultato diverso! Dove sbaglio? Non è possibile operare cambiamenti di variabile di questo tipo?

[Quinzio]

La trasformata è solo per funzioni definite d $t>0$ quindi il problema della f. di Heaviside non si pone.

Comunque io la risolverei così:

$L(e^(-t)sin(2t+1))=Y(s)$

$L(sin(2t+1))=Y(s+1)$

$L(sin(2t)cos1+cos(2t)sin1)=L(sin(2t)cos1)+L(cos(2t)sin1)=cos1L(sin(2t))+sin1L(cos(2t))$

$(cos1Y_1(s+1)+sin1Y_2(s+1))=(cos1(2/((s+1)^2+4))+sin1((s+1)/((s+1)^2+4)))=$

$=(2cos1+(s+1)sin1)/((s+1)^2+4)$