Dubbio topologico....

[Lang_Algebra]

Salve a tutti, nn riesco a dimostrare che $L^1 \bigcap L^2$ è denso in $L^2$ Rudin usa spesso questa proprietà per giustificare i teoremi sulla trasformata di fourier, però ora mi ero messo con l'intento di dimostrarne l'esattezza. Come faccio ???? La mia idea inziale era quella di partile dalla definzione di insime denso.... subito scartata. Allora adesso sto cercando di vederele quella proprietà in questo modo:
Per semplicità di notazione chiamo $L^1 \bigcap L^2 = L^{1,2}$, se $L^{1,2}$ è denso in $L^2$ allora vuol dire che ogni elemento di $L^2$ lo posso vedere come il limite di una successione in $L^{1,2}$ .... non so se è l'idea giusta per provarci ..... cmq ora sto facendo un po' di conti .... voi fatemi sapere un po' come lo dimostrereste ... così se fra un'oretta non riesco a cavare nulla dal sacco, leggo le vostre risposte.


Grazie a tutti anticipatamente.
Saluti
Ste.

[Lang_Algebra]

mmmmm.....
prendo una succ. di funzioni $\{f_n\}\in L^1\bigcap L^2$ allora posso scrivere:
$\lim_{n\to\infty}\int_{R] | f_n |^2 d\mu$
Per il th di Lebesgue ..... dato che le $f$ sono in $L^1\bigcap L^2$ sono dominate porto il limite sotto il segno di integrale:
$\int_{R]\lim_{n\to\infty} | f_n | ^2 d\mu =\int_{R] | f | ^2 d\mu $
mmm .... nn son sicuro di aver raggiunto l'asserto .....

Adesso per completarla, dovrei dire ..... ogni funzione di $L^2$ la posso vedere come funzione limite di una successone di funzioni in $L^1\bigcap L^2$ ?

No ? ..... bho .... ufff sto pezzo nn mi torna

[ViciousGoblin]

Data $f$ in $L^2(RR)$ la puoi approssimare con la successiione $(f_n)$ dove $f_n(x)=f(x)$ se $|x|\leq n$ e $f_n(x)=0$ se $|x|>n$.

[gugo82]

Scusa, ma $C_c \subseteq L^1 \cap L^2$, quindi...


@ moderatori di Geometria e Algebra Lineare: Credo sarebbe meglio spostarlo in Analisi, no?