Dubbio teorico sulle serie di funzioni

[apfel-votailprof]

Ciao ragazzi, se trovo che una serie non converge totalemente in $]-\infty,+\infty[$ potrebbe convergere uniformemente in qualche sottoinsieme? O è giusto dire che: non converge totalmente in $RR$ quindi non converge uniformemente in $RR$ ???

[carpirob]

Allora ti faccio un esempio...Se arrivi a definire che la tua serie non converge totalmente in un insieme ] 5, 8[ allora la tua serie non converge uiformemente in questo intervallo....ma lo fa in ogni compatto del tipo $[a,b] sub]5,8[$

Ps:C'è il simbolo di aperto vicino all'8 che non riesco ad inserire. Cmq vedi il teorema di Abel che ci sono anche altri casi partiolari.

[apfel-votailprof]

Quindi posso pensare di averlo fatto "incompleto" l'esercizio, perchè non ho considerato un sottoinsieme in cui poteva esserci convergenza uniforme, ma mi sono fermata prima...alla totale soltanto in $RR$... :-\

[carpirob]

"caramella87":Quindi posso pensare di averlo fatto "incompleto" l'esercizio, perchè non ho considerato un sottoinsieme in cui poteva esserci convergenza uniforme, ma mi sono fermata prima...alla totale soltanto in $RR$... :-\

Bhè , se nell'esercizio dice che devi trovare anche l'uniforme allora si !! Puoi mandarmi per mp il compito ?? Così mi alleno un pò!!

[Rigel1]

Se una serie di funzioni non converge totalmente può comunque convergere uniformemente.
Esempio: $f_n(x) = (-1)^n\frac{1}{n}$, $x\in\mathbb{R}$ (o sull'insieme che preferisci, tanto sono funzioni costanti).
Hai che $M_n = "sup" |f_n(x)| = \frac{1}{n}$, dunque la serie $\sum_n M_n$ non converge, e di conseguenza la serie di partenza non converge totalmente.
Tuttavia la serie di partenza converge uniformemente, come puoi verificare ricordandoti che la serie numerica $\sum_n (-1)^n \frac{1}{n}$ è convergente per il criterio di Leibniz.

[dissonance]

"carpirob":Allora ti faccio un esempio...Se arrivi a definire che la tua serie non converge totalmente in un insieme ] 5, 8[ allora la tua serie non converge uiformemente in questo intervallo....ma lo fa in ogni compatto del tipo $[a,b] sub]5,8[$

Questa cosa è sbagliata, state attenti.

1) Hai detto "se arrivi a definire che la serie non converge ... " errore: il verbo esatto è dimostrare, non stai definendo niente.

2) Una serie può convergere uniformemente in un intervallo, uniformemente nei sottointervalli compatti, ma anche solo puntualmente e non uniformemente. Non è automatico. Può anche capitare (vedi esempio fornito da Rigel) che la serie converge uniformemente ma non totalmente... Possono succedere un sacco di cose, insomma.

[gugo82]

"carpirob":Se arrivi a definire che la tua serie non converge totalmente in un insieme ] 5, 8[ allora la tua serie non converge uiformemente in questo intervallo....ma lo fa in ogni compatto del tipo $[a,b] sub]5,8[$

"dissonance":2) Una serie può convergere uniformemente in un intervallo, uniformemente nei sottointervalli compatti, ma anche solo puntualmente e non uniformemente. Non è automatico. Può anche capitare (vedi esempio fornito da Rigel) che la serie converge uniformemente ma non totalmente... Possono succedere un sacco di cose, insomma.

I post di capirob e di dissonance mi hanno fatto venir voglia di postare un controesempio.

Ok, è vero che esistono serie convergenti uniformemente, ma non totalmente (cfr. l'esempio fornito da Rigel).
Però se si vuole fornire un controesempio al post di capirob bisogna costruire una serie che:

i) converge puntualmente;

ii) non converge totalmente;

iii) non converge uniformemente in qualche intervallo compatto contenuto nell'insieme di convergenza.

Chiaramente un esempio simile non si può ottenere tramite serie di potenze (ché esse concentrano le singolarità negli estremi dell'intervallo di convergenza).
Allora faccio di più: costruisco una serie di funzioni che verifica i e ii in modo che tale serie:

jjj) non converge uniformemente in nessun intervallo compatto non degenere* contenuto nell'insieme di convergenza.

[N.B.: Ovviamente la jjj è molto più forte della iii ed equivale a richiedere che l'insieme in cui non c'è convergenza uniforme sia in effetti denso nell'insieme di convergenza.]

Consideriamo l'intervallo [tex]$I=[0,1]$[/tex] e chiamiamo [tex]$X$[/tex] l'insieme dei numeri diadici.
L'insieme [tex]$X$[/tex] è costituito da tutti i numeri razionali in [tex]$I$[/tex] aventi come denominatore una potenza di $2$ (ad esempio, [tex]$\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{3}{4}, \ldots ,\tfrac{12137}{16384}$[/tex]); evidentemente [tex]$X$[/tex] è denso in [tex]$I$[/tex] (per dimostrare questo fatto basta numerare in base [tex]$2$[/tex]).
Inoltre [tex]$X$[/tex] è numerabile (perchè parte infinita di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]) perciò i suoi elementi possono essere ordinati in successione: anzi, tale successione può essere scelta in modo che per ogni compatto [tex]$[a,b]\subseteq I$[/tex] non degenere esistano infiniti [tex]$\xi \in X \cap [a,b]$[/tex]. Ciò può essere fatto come segue:

- innanzitutto si noti che ogni numero [tex]$\xi\in X\setminus \{ 0\}$[/tex] si scrive in unico modo come rapporto r.m.t. di un numero dispari e di una potenza di [tex]$2$[/tex]; pertanto esistono due unici [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex] ed un [tex]$k\in \{ 0,\ldots ,2^{N-1}-1\}$[/tex] tali che:

[tex]$\xi =\frac{2k+1}{2^N}$[/tex]

- poi si pone:

[tex]$x_0=0$[/tex],
[tex]$x_1=1$[/tex],
[tex]$x_2=\tfrac{1}{4}, x_3=\tfrac{3}{4}$[/tex],
[tex]$x_4=\tfrac{1}{8}, x_5=\tfrac{3}{8}, x_6=\tfrac{5}{8}, x_7=\tfrac{7}{8}$[/tex],

ed in generale:

[tex]$x_n= \frac{2k+1}{2^N} \quad \text{se $n=2^{N-1} +k$}$[/tex].

Consideriamo ora la successione di funzioni definita ponendo:

[tex]$\phi_n(x):=\begin{cases} 0 &\text{, se $x\neq x_n$} \\ n &\text{, se $x=x_n$}\end{cases}$[/tex]

e quella definita ponendo:

[tex]$f_n(x)=\phi_{n+1}(x)-\phi_n(x)$[/tex].

Mostriamo che la serie [tex]\sum f_n[/tex] gode delle i, ii e jjj.

i) Innanzitutto [tex]\sum f_n[/tex] converge puntualmente in [tex]$I$[/tex]: infatti fissato [tex]$x\in I$[/tex] risulta:

[tex]$\sum_{n=0}^{\nu} f_n(x) =\phi_{\nu +1} (x)-\phi_0(x)=\phi_{\nu +1} (x)$[/tex]

cosicché

[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)=\lim_\nu \phi_{\nu +1} (x)=0$[/tex].

ii) La [tex]\sum f_n[/tex] non converge totalmente in [tex]$I$[/tex]: invero si ha [tex]$\sup_I |f_n| =\phi_{n+1}(x_{n+1})=n+1$[/tex] e perciò la serie [tex]\sum \sup_I |f_n|[/tex] non converge.

jjj) La [tex]\sum f_n[/tex] non converge uniformemente in alcun intervallo compatto non degenere [tex]$[a,b]\subseteq I$[/tex]: difatti si ha:

[tex]$\sup_{[a,b]} \left| \sum_{n=\nu +1}^{\nu +p} f_n(x) \right| =\sup_{[a,b]} \phi_{\nu +p+1} -\phi_{\nu +2} =\nu+ p+2$[/tex]

e per [tex]$p\to +\infty$[/tex] risulta [tex]$\sup_{[a,b]} \left| \sum_{n=\nu +1}^{\nu +p} f_n(x) \right| \to +\infty$[/tex]; pertanto il criterio di convergenza uniforme di Cauchy non può essere verificato in [tex]$[a,b]$[/tex] e la serie non converge uniformemente.

__________
* Con compatto non degenere intendo un intervallo compatto non ridotto ad un solo punto.

[carpirob]

Gugo perdonami....mi sono perso un attimino. Stai affermando ciò che ho detto io oppure stai cercando una soluzione logica alla mia affermazione perchè non ne sei convinto ??

vorrei saperlo perchè se ho delle convinzioni sbagliate è meglio che le corregga quanto prima....

[gugo82]

Quello che tu hai affermato è in generale falso.

Proprio per mostrare questo fatto ho postato un bel controesempio.

[carpirob]

E allora scusami, ho frainteso il Teorema di abel ??? Non dice ciò che ho detto io??

[gugo82]

"carpirob":E allora scusami, ho frainteso il Teorema di abel ??? Non dice ciò che ho detto io??

Questo teorema di Abel?

Vale solo per le serie di potenze e dice una cosa ben diversa da quella che affermi tu.
Tra parentesi, le serie di potenze sono totalmente convergenti in qualsiasi intervallo ben contenuto nell'intervallo di convergenza; quindi è per questo che risultano uniformemente convergenti.

[Leonardo891]

Bell'esempio Gugo!
Piuttosto, cosa intendi con "rapporto r.m.t."?

[gugo82]

"Leonardo89":cosa intendi con "rapporto r.m.t."?

r.m.t. = ridotto ai minimi termini.

[dissonance]

Le abbreviazioni di Gugo sono micidiali. T.a.t. , m.a.m. , w.r.t. , r.m.t. ...
E pure io sono rimasto contagiato, proprio adesso ho finito di scrivere un post pieno di "f.d.l." (Forma Differenziale Lineare).

[Leonardo891]

"dissonance":Le abbreviazioni di Gugo sono micidiali. T.a.t. , m.a.m. , w.r.t. , r.m.t. ...
E pure io sono rimasto contagiato, proprio adesso ho finito di scrivere un post pieno di "f.d.l." (Forma Differenziale Lineare).

Servirebbe quasi un dizionario apposito, eh?

[gugo82]

[OT]

Quelle sono quelle che uso più di frequente... Però manca d.s.s.c.i.

Chi indovina?

[/OT]

[j18eos]

"gugo82":[OT]Quelle sono quelle...[/OT]

Ti sei ripetuto.
d.s.s.c.i.=dire se sono così intelligente