Dubbio teorico sulle serie di Fourier
Ciao ragazzi 
,
ho qualche dubbio sulla convergenza, di qualsiasi tipo sulla serie di Fourier, e sulle sue applicazioni in esecizi vari.
In molti testi, tra i quali anche quelli del mio professore, le definizioni sono discordanti tra di loro, quindi ho bisogno che qualcuno mi faccia chiarezza.
Le mie domande sono:
- una serie di Foiurier è una serie di funzioni, questo implica che essa può convergere in 4 diversi modi(puntualmente, assolutamente, uniformemente, totalmente)?
- data la serie di Fourier in forma canonica $a_0 + \sum_{n=0}^\oo (a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx))$ e una volta trovati tutti i coefficenti $a_0,a_n,b_n$ come si studiano le convergenze?
- come può, la continuità di $f(x)$ (funzione ottenuta prolungando per periodicità a tutto $RR$ una funzione $g$ ) incidere sulla convergenza della serie di Fourier di $f$ ?
,ho qualche dubbio sulla convergenza, di qualsiasi tipo sulla serie di Fourier, e sulle sue applicazioni in esecizi vari.
In molti testi, tra i quali anche quelli del mio professore, le definizioni sono discordanti tra di loro, quindi ho bisogno che qualcuno mi faccia chiarezza.
Le mie domande sono:
- una serie di Foiurier è una serie di funzioni, questo implica che essa può convergere in 4 diversi modi(puntualmente, assolutamente, uniformemente, totalmente)?
- data la serie di Fourier in forma canonica $a_0 + \sum_{n=0}^\oo (a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx))$ e una volta trovati tutti i coefficenti $a_0,a_n,b_n$ come si studiano le convergenze?
- come può, la continuità di $f(x)$ (funzione ottenuta prolungando per periodicità a tutto $RR$ una funzione $g$ ) incidere sulla convergenza della serie di Fourier di $f$ ?
Risposte
1) Si. E ci sono anche altri modi ancora di convergenza.
2) E' un problema classico e se lo poni con tanta generalità può essere anche molto difficile. L'unico criterio facile è quello banale: se \(\sum\lvert a_n\rvert + \lvert b_n\rvert <\infty\), allora la serie converge assolutamente ed uniformemente. Su questo argomento ci sono teoremi a chili.
3) La continuità in sé non conta molto. Esistono funzioni continue la cui serie di Fourier non converge in nessun punto. Si tratta naturalmente di schifezze bruttissime, perché se una funzione è di classe $C^1$ allora la sua serie di Fourier converge uniformemente. Vale anche con funzioni regolari a tratti.
Visivamente, il problema principale che ostacola la convergenza è il fenomeno di Gibbs: intorno ad una discontinuità di salto le serie di Fourier hanno grossi problemi. Nella pratica degli esercizi, quindi, occorre soprattutto localizzare gli intervalli di regolarità delle funzioni date e verificare se ci sono salti.
2) E' un problema classico e se lo poni con tanta generalità può essere anche molto difficile. L'unico criterio facile è quello banale: se \(\sum\lvert a_n\rvert + \lvert b_n\rvert <\infty\), allora la serie converge assolutamente ed uniformemente. Su questo argomento ci sono teoremi a chili.
3) La continuità in sé non conta molto. Esistono funzioni continue la cui serie di Fourier non converge in nessun punto. Si tratta naturalmente di schifezze bruttissime, perché se una funzione è di classe $C^1$ allora la sua serie di Fourier converge uniformemente. Vale anche con funzioni regolari a tratti.
Visivamente, il problema principale che ostacola la convergenza è il fenomeno di Gibbs: intorno ad una discontinuità di salto le serie di Fourier hanno grossi problemi. Nella pratica degli esercizi, quindi, occorre soprattutto localizzare gli intervalli di regolarità delle funzioni date e verificare se ci sono salti.
Sei stato chiarissimo; grazie mille
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