Dubbio teorico sulla rappresentazione decimale dei numeri razionali

[fenghuang]

Ciao a tutti, avrei un dubbio su di un algoritmo di divisione che ho trovato su un libro. Ve lo illustro qui di seguito.

Sia $r= p/q \in QQ$ un razionale positivo, con $p>0, q>0$ interi. Si ha. mediante divisioni successive,

$p/q = c_0 + p_0/q $ , con $0<= p_0 < q$ e $c_0$ è un intero non negativo;

$p_0/q = c_1/10 + p_1/10q $ , con $0<= p_1 < q$ e $c_1$ è un intero tra 0 e 9;

$p_1/q = c_2/10 + p_2/10q $ , con $0<= p_2 < q$ e $c_2$ è un intero tra 0 e 9;

e andando avanti si ottiene, al passo $n$

$r= c_0 + c_1/10 +c_2/(10^2) +c_3/(10^3) +...+ c_n/(10^n) + p_n/(10^n q)$

ora voglio dimostrare che questo algoritmo di divisione non produce mai allineamenti decimali con periodo 9. Lo dimostro per i numeri periodici puri.

Suppongo per assurdo $r=c_0, \bar 9$. Poichè $0<= p_n < q$, dall'uguaglianza precedente ho che per ogni $n$



$c_0 + 9/10 +9/(10^2) +9/(10^3) +...+ 9/(10^n) <= r < c_0 + 9/10 +9/(10^2) +9/(10^3) +...+ 9/(10^n) + 1/(10^n)$

Poiché

$9/10 +9/(10^2) +9/(10^3) +...+ 9/(10^n) + 1/(10^n) =1$, le diseguaglianze precedenti diventano

$ AA n 1 - 1/(10^n) < r- c_0 <1$

o anche


$ AA n 0 < c_0 +1 - r< 1/(10^n)$

il che è assurdo.

Ecco non capisco perché dovrebbe essere assurdo, qualcuno saprebbe spiegarmelo?

vi ringrazio in anticipo per l'aiuto

[galessandroni]

"fenghuang":Ciao a tutti, avrei un dubbio su di un algoritmo di divisione che ho trovato su un libro. Ve lo illustro qui di seguito.

[...]

Suppongo per assurdo $r=c_0, \bar 9$. Poichè $0<= p_n < q$, dall'uguaglianza precedente ho che per ogni $n$

[...]

Solo un appunto: io sapevo che $ 0, \bar 9 = 1 $.

[fenghuang]

si scusate. in tutto il discorso vengono esclusi i numeri con periodo 9