Dubbio teorico su questa dimostrazione

[saretta:)115]

Buongiorno

Ho provato a fare una foto della dimostrazione sperando resti leggibile.
Segno con x' i vettori nelle norme e con x le componenti





Il mio problema è sulla dimostrazione <= in particolare in due punti.
1) Nel momento in cui io "trovo" il $δ_i$ legato all'$\epsilon$ non capisco l'affermazione $||x'-x'_0<||<δ_i$, anche perché in generale $0<|x-x_0|<=||x'-x'_0||$ quindi il delta che trovo potrebbe essere minore di $||x'-x'_0||$ e quindi non mi sembra una affermazione sempre valida. Quindi potrei trovare un $δ_i$ che non soddisfa $||F_i-l_i||$ pur soddisfando $||x'-x'_0||<δ_i$
Potrei solo affermare dalla definizione di limite (per una componente che è l'ipotesi di partenza) che: per ogni espilon esiste un delta_i tale che per ogni x $0<|x-x_0|<=δ_i$.
Riassumendo: non capisco perché dalla definizione di limite per una componente discenda sicuramente che $||x'-x'_0<||<δ_i$.

2)alla fine scrive: $||F(x)-l||

Vi ringrazio

[Indrjo Dedej]

Provo a risponderti. Partiamo dal secondo dubbio. Scordati la parola "piccola" in analisi, matematicamente "piccola" non significa nulla. Va bene "arbitrario", devi capire bene il suo significato - il quantificatore $\forall$ -. In parole povere: $\epsilon$ e $K\epsilon$, con $K>0$, sono ugualmente arbitrari e quindi il discorso della dispensa funziona. Ripeto: non ti fissare sui termini "piccoli" e "vicini", non hanno modo d'essere, anche se sembrano cascarci a fagiolo. Cosa dice la definizione di limite? «Per ogni...» "Per ogni" significa "per ogni", vanno bene tutti gli $\epsilon>0$ piccoli o grandi che siano.
Per il primo dubbio, hai ragione tu, se ho capito bene il tuo dubbio. Nel riquadro rosso ci va $0<|x-x_0|<\delta_i$. Una piccola svista, penso. Tutto il resto fila liscio.

[Bremen000]

Ciao, il tuo primo dubbio non mi è chiaro e non penso che sia quello che dice Indrjo perché la condizione

\[ x \in A \quad \wedge \quad 0 < \| x- \bar{x} \| < \delta_i \]

è equivalente a

\[ x \in A \setminus \{\bar{x}\} \quad \wedge \quad \| x- \bar{x} \| < \delta_i \]

Ma da quel che leggo

"saretta:)":
Riassumendo: non capisco perché dalla definizione di limite per una componente discenda sicuramente che $ ||x'-x'_0<||<δ_i $.

mi sa che non ti è chiaro l'enunciato: nessuno sta dicendo che \( x_i \to \bar{x}_i \), ovvero nessuno sta facendo il limite per una componente $x_i$ che tende alla corrispondente componente di \( \bar{x}_i \).

L'enunciato è

\[ \Biggl [ \lim_{x \to \bar{x}} F(x) = l = (l_1, \dots, l_m) \Biggr ] \Leftrightarrow \Biggl [ \lim_{x \to \bar{x}} f_i(x) = l_i \quad \forall i=1, \dots, m \Biggr ] \]


Per il secondo dubbio è una cosa piuttosto comune in analisi e devi convincerti che funziona lo stesso. Questo vuol dire che ti deve essere chiaro come "convertire" la dimostrazione affinché alla fine diventi proprio $< \epsilon$. Poi con la pratica, cioè quando hai capito che funziona, non è più necessario "sistemare" questi dettagli.

In questo caso in particolare puoi fare così:

Supponiamo che ogni $f_i$ tenda a $l_i$ per $x$ tendente a $\bar{x}$. Dato \( \epsilon >0 \) si consideri \( \bar{\epsilon} := \epsilon/\sqrt{m} \). In corrispondenza di \( \bar{\epsilon} \) esistono, per ogni \( i=1, \dots, m\), dei \( \delta_i \) tali che

\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{ \bar{x} \} \quad \wedge\quad \|x-\bar{x} \| < \delta_i \Biggr ] \Rightarrow \Biggl [ |f_i(x)-l_i|< \bar{\epsilon} \quad \forall i=1, \dots, m \Biggr ] \]

Preso \( \delta = \min(\delta_i) \) si ha

\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{ \bar{x} \} \quad \wedge\quad \|x-\bar{x} \| < \delta \Biggr ] \Rightarrow \Biggl [ \|F(x)-l\|^2 =|f_1-l_1|^2 + \dots + |f_m(x)-l_m|^2< m \bar{\epsilon}^2 =\epsilon^2 \Biggr ] \]

ovvero

\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{ \bar{x} \} \quad \wedge\quad \|x-\bar{x} \| < \delta \Biggr ] \Rightarrow \Biggl [ \|F(x)-l\|< \epsilon \Biggr ] \]

che è la definizione di \( \lim_{x \to \bar{x}} F(x) =l \).

[Indrjo Dedej]

"Bremen000":nessuno sta dicendo che \( x_i \to \bar{x}_i \), ovvero nessuno sta facendo il limite per una componente $x_i$ che tende alla corrispondente componente di \( \bar{x}_i \).

Ops, vero. Ho letto proprio così. Ahahah

[saretta:)115]

Grazie per le risposte,

per il punto
1) quello che non mi torna è più che altro l'implicazione, cioè perché il fatto che ∥x−x¯∥<δi⇒|F(x)−l|<ϵ. Dato che parto dalla ipotesi di avere il limite componente per componente penso derivi dalla sua definizione di limite, ma non riesco a vederlo

2) In questo caso sono d'accordo che se parto da una ϵ e mettiamo arrivi a dimostrare per una ϵ/2 che |F(x)−l|<ϵ/2 mi torna, il problema mi nasce perché alla fine io arrivo ad avere una epsilon più grande della epsilon iniziale. A questo punto vado ad includere delle F(x) che prima non cadevano nell'intorno (più stretto di raggio epsilon iniziale).
In altre parole avrei delle F(x) che rispettano |F(x)−l|<ϵ' ma no rispettano |F(x)−l|<ϵ dove ϵ'=ϵ*c, con c costante positiva.
Altro discorso è se prendessi da principio una arbitraria ϵ'=ϵ*c, da questa discende una δ' tale che |x−x¯|<δ'⇒|F(x)−l|<ϵ*c, il problema mi nasce più che altro per il fatto che parto da una espilon sì arbitraria, ma sempre minore della finale (qualunque essa sia).

Riassumendo e girandola ancora: il controllo della epsilon finale sullo scarto |f(x)-l| deve avere pari dimensione (o al massimo minore) della epsilon scelta all'inizio e da cui poi faccio dipendere i delta, altrimenti non avrebbe molto senso

Scusatemi che dal cellulare non so usare le formule
Grazie ancora-

[Bremen000]

Ciao,

Ancora una volta hai detto che hai il limite componente per componente ma o non capisco cosa intendi o c'è qualcosa che non va.

Presa \( F : A \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) e dette le sue componenti \( f_i \quad i=1, \dots, m \), allora esse sono funzioni \( f_i : A \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) per ogni \( i=1, \dots, m \).

Dunque se con $x$ indico il generico vettore di $\mathbb{R}^n$ di componenti \( x= (x_1, \dots, x_n ) \) e con $\bar{x}$ un punto di accumulazione per $A$, ha senso calcolarsi il

\begin{equation} \lim_{x \to \bar{x}} f_i(x) = l_i \end{equation}

e non

\[ \lim_{x_i \to \bar{x}_i} f_i(x_i) \]

Ora, la \( (1) \) è la nostra ipotesi e significa, per definizione, che per ogni \( i=1, \dots, m \)

Per ogni \( \epsilon >0 \) esiste un \( \delta_i >0 \) tale che

\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{\bar{x}\} \wedge \|x-\bar{x} \| < \delta_i \Biggr ] \Rightarrow |f_i(x)-l_i| < \epsilon \]

Ora tu fissi un \( \epsilon >0 \) a piacere. Prendi questo $\epsilon$ e dividilo per radice di $m$. In corrispondenza di questo nuovo $\bar{epsilon}:= \epsilon/\sqrt{m} $ hai, dalla definizione della \( (1) \), che esistono dei $\delta_i$ per ogni \( i=1, \dots, m \) che soddisfano

\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{\bar{x}\} \wedge \|x-\bar{x} \| < \delta_i \Biggr ] \Rightarrow |f_i(x)-l_i| < \bar{\epsilon} \]

Ma se questo è vero per \( \|x-\bar{x} \| < \delta_i \) figurati se non è vero se prendiamo un $\delta$ più piccolo! Prendiamo quindi $\delta = \min(\delta_i) $. Quindi vale ancora che per ogni \( i=1, \dots, m \)

\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{\bar{x}\} \wedge \|x-\bar{x} \| < \delta \Biggr ] \Rightarrow |f_i(x)-l_i| < \bar{\epsilon} \]

Ora è solo una questione di somme notare che se \( x \in A \setminus \{\bar{x}\} \wedge \|x-\bar{x} \| < \delta \) allora

\[ \|F(x)-l \|^2 = \sum_{i=1}^m |f_i(x)-l_i|^2 < \sum_{i=1}^m \bar{\epsilon}^2 = \sum_{i=1}^m \frac{\epsilon^2}{m^2} = m^2 \frac{\epsilon^2}{m^2} = \epsilon^2 \]

Ovvero si è fatto vedere che

\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{\bar{x}\} \wedge \|x-\bar{x} \| < \delta \Biggr ] \Rightarrow \|F(x)-l \| < \epsilon \]

Ma $\epsilon$ era stato preso a piacere e con un po' di conti abbiamo fatto vedere (non importa come) che esiste un $\delta$ che verifica la definizione di limite ovvero che

\[ \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 \, \, : \, \, \Biggl [ x \in A \setminus \{\bar{x}\} \wedge \|x-\bar{x} \| < \delta_{\epsilon} \Biggr ] \Rightarrow \|F(x)-l \| < \epsilon \]

che per definizione significa che

\[ \lim_{x \to \bar{x}} F(x) = l \]

Riferendoti a questo post, per favore con le formule, dimmi cosa non ti è chiaro.

[saretta:)115]

Il primo punto l'ho capito, sbagliavo proprio quello che dicevi tu, e dal primo intervendo non avevo capito la spiegazione. Perdonami

Concentrandocisi sul secondo..
Quel che mi confondeva è che il libro mette
\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{\bar{x}\} \wedge \|x-\bar{x} \| < \delta_i \Biggr ] \Rightarrow |f_i(x)-l_i| < \epsilon \]
e non

"Bremen000":\[ \Biggl [ x \in A \setminus \{\bar{x}\} \wedge \|x-\bar{x} \| < \delta_i \Biggr ] \Rightarrow |f_i(x)-l_i| < \bar{\epsilon} \]

penso proprio di aver capito ora l'errore!

Mi piacerebbe però chiederti un'altra cosa, scorrelata dal dubbio perché era l'interpretazione errata che ne davo prima, ma sarei curiosa se funzionasse o meno, quel che vorrei ora chiederti è in pratica: $|f(x)-l|
prendiamo la definizione di limite

$∀ε>0 ∃δ(ε)>0| ∀x\in dom(f), 0<|x-x_0|<δ => |f(x)-l|<ε$ (1)

potrei definire il limite così, e sarebbe uguale alla (1)?

$∀ε>0 ∃δ(ε)>0| ∀x\in dom(f), 0<|x-x_0|<δ => |f(x)-l| Secondo me no. Infatti..
Consideriamo la (2), se prendo un $ε$ a piacere e parafrasassi il discorso di prima, allora consideriamo $ε/c$ da questo faccio "discendere" una $δ$ tale che $0<|x-x_0|<δ$ allora si ha $|f(x)-l| Prendo una epsilon a piacere e arrivo ad avere $|f(x)-l|<ε$, vero, però per la definizione di limite $|f(x)-l|$ rispetta l'essere minore di $<ε/2$ se metto $<ε$ rischo di ampliare il range. No?
Insomma la mia idea è che non funzionerebbe, ma vorrei sapere da qualcuno che ne capisce giusto un "filo" di più


Grazie mille davvero!

[Bremen000]

Ciao, bene che i dubbi sono chiariti!

Per il resto faccio proprio fatica a comprendere il linguaggio. Se ho ben inteso vuoi sapere se

\begin{equation} \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 : \Biggl [ x \in \text{dom}(f) \wedge 0<|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \Biggr ] \Rightarrow |f(x)-l|< \epsilon \end{equation}

e

\begin{equation} \exists c >0 : \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 : \Biggl [ x \in \text{dom}(f) \wedge 0<|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \Biggr ] \Rightarrow |f(x)-l|< c \epsilon \end{equation}

sono equivalenti.

La risposta è sì e la dimostrazione l'hai fatta da sola.

Per far vedere che $(1) \Rightarrow (2)$ fissa \( \epsilon >0 \) e applica la definizione $(1)$ a $c \epsilon$.
Per far vedere che $(2) \Rightarrow (1)$ fissa \( \epsilon >0 \) e applica la definizione $(2)$ a $\epsilon/c$.

Non c'è nessun problema nel fatto di "allargare il range" come dici tu. Quindi anche la $(2)$ funziona.

Quando dici

"saretta:)":
Prendo una epsilon a piacere e arrivo ad avere $ |f(x)-l|<ε $, vero, però per la definizione di limite $ |f(x)-l| $ rispetta l'essere minore di $ <ε/2 $ se metto $ <ε $ rischo di ampliare il range. No?

Anche se riesci a ottenere una disuguaglianza più forte (cioè con $\epsilon/2$) non importa a nessuno, l'importante è che la definizione $(1)$ venga soddisfatta. Poi ok, è meno stringente, ma non importa perché il fatto fondamentale è che $\epsilon$ è arbitrario e quindi l'idea è che:

Dammi un $\epsilon$ qualsiasi (anche molto vicino a $0$), riesco a trovare un $\delta$ tale che se $x$ è sufficientemente vicino a $x_0$ (cioè distante meno di $\delta$) allora l'immagine di $x$ e il limite $l$ sono più vicini di $\epsilon$. Questo qualsiasi $\epsilon$ mi venga dato all'inizio. Dunque se $x$ si avvicina molto a $x_0$, l'immagine di $x$ si avvicina molto a $l$.

[saretta:)115]

Per il primo sì, tutto risolto. Per il dubbio degli epsilon però devo dire che non ci sono ancora del tutto forse. E'che vorrei a tutti i costi capirlo essendo utilissimo in analisi!

"saretta:)":$∀ε>0 ∃δ(ε)>0| ∀x\in dom(f), 0<|x-x_0|<δ => |f(x)-l|<ε$ (1)

potrei definire il limite così, e sarebbe uguale alla (1)?

$∀ε>0 ∃δ(ε)>0| ∀x\in dom(f), 0<|x-x_0|<δ => |f(x)-l|

Però aspetta:

Se la (2) fosse scritta come $∀c*ε>0 ∃δ_(c*ε)>0| ∀x\in dom(f), 0<|x-x_0|<δ => |f(x)-l| Ma se è $∀ε>0 ∃δ_ε>0| ∀x\in dom(f), 0<|x-x_0|<δ => |f(x)-l|

Riprendendo quel che scrivi. (2)sarebbe
Dammi un ε qualsiasi (anche molto vicino a 0), riesco a trovare un δ tale che se x è sufficientemente vicino a x0 (cioè distante meno di δ) allora l'immagine di x e il limite l sono più vicini di c*ε (e questo in generale è più grande dell'ε di partenza). Se io quindi dimostro che da una epsilon arrivo ad avere |f(x)-l|
Diverso invece, e mi torna, se fosse (2-b)
Dammi un c*ε (parto già da un epsilon moltiplicato c) qualsiasi (anche molto vicino a 0), riesco a trovare un δ tale che se x è sufficientemente vicino a x0 (cioè distante meno di δ) allora l'immagine di x e il limite l sono più vicini di c*ε (che ha stessa dimensione dell'arbitrario di partenza). Questo qualsiasi ε mi venga dato all'inizio. Dunque se x si avvicina molto a x0, l'immagine di x si avvicina molto a l.

Scusami, e spero di esser stata più chiara
Nel caso non lo sia stata scrivimelo pure che provo a riformulare ancora senza farti tempo a scrivere che mi spaice

[Bremen000]

Ciao, lascia stare le considerazioni filosofiche e scrivi la dimostrazione \( (1) \Leftrightarrow (2) \).

Non importa cosa ti sembra utile o meno, scrivi i passaggi e vedrai che ti convincerai della coimplicazione.

Poi si può discutere di utilità e opportunità...

P.S. : non c'è motivo per cui $ c \epsilon > \epsilon $, va bene prendere anche $c =10^{-973208}$.

[saretta:)115]

Allora farei così
Si ha la generica

$∀ε>0 ->δ..||<ε$

nei puntini sottointendo la totale scrittura

Per la generalità di epsilon posso prendere $ε/c$ e varrebbe comunque

$∀ε/c>0 ->δ..||<ε/c$

Sempre per la generalità

$∀(ε/c)*c>0 ->δ..||<(ε/c)*c$, vale.


Ora, prendendo

$(ε/c)*c>0$ posso trovare dividendo per c $ε/c>0$ dunque leggendo al contrario e per quanto detto prima vale $∀ε/c>0$ posso sempre trovare $(ε/c)*c>0$ e per quanto già visto $∀(ε/c)*c>0 ->δ..||<(ε/c)*c$
E chiamando $ε/c=ε'$ è fatta (=>) infatti
$∀ε'>0$ posso sempre trovare $∀(ε')*c>0 ->δ..||<ε'*c$

Per quanto riguarda (<=)
essendo $∀(ε/c)*c>0 ->δ..||<(ε/c)*c$, basta che prendo $(ε/c)*c$ e lo divido ancora per c e mi riporto nel caso $∀ε/c>0 ->δ..||<ε/c$ che appunto vale

Fine!

[EDIT] ho fattoalcuni edit

[Bremen000]

Secondo me è contentissimo e purtroppo non ci capisco nulla.

\( (1) \Rightarrow (2) \):

Partiamo dall'ipotesi

\[ \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 : \Biggl [ x \in \text{dom}(f) \wedge 0<|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \Biggr ] \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon \]

Sia ora $c>0$ fissato. Sia $\epsilon >0$ fissato e arbitrario. Allora, per definizione, esiste $\delta_{c \epsilon}$ tale che

\[ \Biggl [ x \in \text{dom}(f) \wedge 0<|x-x_0|<\delta_{c \epsilon} \Biggr ] \Rightarrow |f(x)-l|
Ma siccome abbiamo scelto un qualsiasi $\epsilon$ e chiamando $\delta_{\epsilon}$ quella che abbiamo chiamato \( \delta_{c \epsilon} \) abbiamo quindi che vale

\[ \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 : \Biggl [ x \in \text{dom}(f) \wedge 0<|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \Biggr ] \Rightarrow |f(x)-l|
\( (2) \Rightarrow (1) \):

Partiamo dall'ipotesi

\[ \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 : \Biggl [ x \in \text{dom}(f) \wedge 0<|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \Biggr ] \Rightarrow |f(x)-l|
Sia $\epsilon >0$ fissato e arbitrario. Allora, per definizione, esiste $\delta_{\epsilon/c}$ tale che

\[ \Biggl [ x \in \text{dom}(f) \wedge 0<|x-x_0|<\delta_{ \epsilon/c} \Biggr ] \Rightarrow |f(x)-l|
Ma siccome abbiamo scelto un qualsiasi $\epsilon$ e chiamando $\delta_{\epsilon}$ quella che abbiamo chiamato \( \delta_{\epsilon/c} \) abbiamo quindi che vale

\[ \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 : \Biggl [ x \in \text{dom}(f) \wedge 0<|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \Biggr ] \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon \]


Che io credo sia quello che volevi dire tu.

Ti torna tutto?

[saretta:)115]

Direi proprio di sì, è stata faticosa ma ce l'hai fatta, ho capito!

COmplimenti per la pazienza , fortunata la tua ragazza te l'ho messa alla prova ma hai resistito senza sfan***armi.

Grazie ancora, sono contentissima!

[Bremen000]

Bene! Sono molto contento che tu abbia capito!

"saretta:)":
[...] fortunata la tua ragazza [...]

Le mando subito lo screen di questo messaggio

[saretta:)115]

Ahahahah speriamo non ti sfa***li lei allora

Buona continuazione!