Dubbio teorico su De L'Hopital

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi, ho un dubbio teorico che mi è sorto osservando le condizione necessarie per l'utilizzo del teorema.

Se una di esse è che $g$ e $g'$ devono essere diversi da $0$ nell'intervallo in cui $g$ è derivabile, allora come posso utilizzare De L'Hopital nelle forme indeterminate $0/0$ ? Perchè $g$ (il denominatore) è $0$, e non dovrebbe esserlo per ipotesi!

Vi ringrazio, ciao!

[Newton_1372]

Attenzione: forme determinate 0/0 non significa che la funzione sia una frazione con tutt'e due zeri. Significa che è del tipo
$(f(x))/(g(x))$ e valgono le relazioni
$\lim_{x\to a^+} f(x)=0$
$\lim_{x\to a^+} g(x)=0$.
Io non ho alcuna informazione su quanto faccia f,g nel punto a. So che avvicinandoci ad a da destra sia f che g tendono a 0.
Tant'è vero che una delle dimostrazioni del teorema si basa sul prolungare f,g per continuità, ponendo proprio
$f(a)=0, g(a)=0$
e usando Cauchy..

[Mr.Mazzarr]

Quindi stai dicendo che io non so il valore di $f(x)$ e $g(x)$ ma so a cosa '' tendono '' con la $x$ che tende a $a^+$, e quindi ho una forma indeterminata e posso usare De L'Hopital. Giusto?

In pratica dire che la funzione tende a zero perchè la x tende a qualcosa, non vuol dire che la funzione è pari a zero.

[Newton_1372]

si, ovvio... metti la funzione "parte intera" che ad ogni x in R ti associa la sua parte intera. Il limite per x che tende a 1 da sinistra è 0 (perchè in un intorno sinistro la funzione vale 0 costantemente), ma f(1) = 1.
Un altro esempio è il gradino di Heaviside, che associa 1 se x=0, e associa 0 altrimenti. Il limite per x che tende a 0 è 0 (sia da sinistra che da destra), mentre f(0)=1