Dubbio teorico o-piccolo
Ho un piccolo dubbio teorico ma alla fine anche molto pratico sull'o-piccolo
in genere quando mi trovo in espressioni del tipo:
$ lim_(x -> 0) (4x^2+ o(x^2))/(x+o(x))= lim_(x -> 0) (x^2(4+(o(x^2))/x^2))/(x(1+(o(x))/x))= lim_(x -> 0) (x(4+o(1)))/(1+o(1))=lim_(x -> 0)( x*(4))/1=0 $
dove o(1) indica una quantità infinitesima che tende a zero quando x tende a zero (nel nostro caso)...
in genere in questa espressione avevo di fronte a forme del tipo: $ (o(x^2))/x^2 $ o $ (o(x))/x^ $ che tendevano a zero (= o(1)) al limite....sia per la definizione stessa di o-piccolo ma anche applicando l'algebra degli o-piccolo..visto che essendoci un quoziente di potenze aventi la stessa base posso sottrarre gli esponenti e viene $ (o(x^(2-2))=o(x^0)=o(1) $ e similmente per il secondo caso.
se invece avessi un espressione del tipo: $ lim(o(x^2))/x $ potrei scrivere comunque $ o(1) $ ...se seguo la regola algebrica del quoziente(ammesso che esista visto che non in tutti i libri/siti l'ho trovata)no visto che dovrei fare $ o(x^(2-1))=o(x) $ ma se seguo la semplice definizione di o.piccolo e l'intuito mi trovo di fronte a un rapporto tra una quantità che è o-piccolo di x^2 e al denominatore x...ed è evidente che tale espressione tenda a zero se il lim x>0 e dunque potrei comunque scrivere o(1)
è corretto quindi scrivere o(1) in questi casi?
grazie!!
in genere quando mi trovo in espressioni del tipo:
$ lim_(x -> 0) (4x^2+ o(x^2))/(x+o(x))= lim_(x -> 0) (x^2(4+(o(x^2))/x^2))/(x(1+(o(x))/x))= lim_(x -> 0) (x(4+o(1)))/(1+o(1))=lim_(x -> 0)( x*(4))/1=0 $
dove o(1) indica una quantità infinitesima che tende a zero quando x tende a zero (nel nostro caso)...
in genere in questa espressione avevo di fronte a forme del tipo: $ (o(x^2))/x^2 $ o $ (o(x))/x^ $ che tendevano a zero (= o(1)) al limite....sia per la definizione stessa di o-piccolo ma anche applicando l'algebra degli o-piccolo..visto che essendoci un quoziente di potenze aventi la stessa base posso sottrarre gli esponenti e viene $ (o(x^(2-2))=o(x^0)=o(1) $ e similmente per il secondo caso.
se invece avessi un espressione del tipo: $ lim(o(x^2))/x $ potrei scrivere comunque $ o(1) $ ...se seguo la regola algebrica del quoziente(ammesso che esista visto che non in tutti i libri/siti l'ho trovata)no visto che dovrei fare $ o(x^(2-1))=o(x) $ ma se seguo la semplice definizione di o.piccolo e l'intuito mi trovo di fronte a un rapporto tra una quantità che è o-piccolo di x^2 e al denominatore x...ed è evidente che tale espressione tenda a zero se il lim x>0 e dunque potrei comunque scrivere o(1)
è corretto quindi scrivere o(1) in questi casi?
grazie!!
Risposte
Ciao. Scrivere $o(1)$ significa che diviso per $1$ tende a zero. Scrivere $o(x)$ significa che diviso per $x$ va a zero. Ora siamo nel caso $x to 0$.
Nota che l'o-piccolo non è unico: infatti $x^2$ è o-piccolo sia di $1$, che di $x$.
Più in generale, se $h(x)=o(f(x))$ e $f(x)=o(g(x))$, allora $h(x)=o(g(x))$. Ad esempio, per $x to 0$, di ha che $x^a$ è o-piccolo di tutti gli $x^b : b0$.
Spero di essere stato chiaro.
Nota che l'o-piccolo non è unico: infatti $x^2$ è o-piccolo sia di $1$, che di $x$.
Più in generale, se $h(x)=o(f(x))$ e $f(x)=o(g(x))$, allora $h(x)=o(g(x))$. Ad esempio, per $x to 0$, di ha che $x^a$ è o-piccolo di tutti gli $x^b : b
Spero di essere stato chiaro.
ciao inanzitutto grazie per la risposta!!
dunque ,nel caso in cui $ x->0 $ se ho $ (o(x^2))/(x)=0 $ ?
dunque ,nel caso in cui $ x->0 $ se ho $ (o(x^2))/(x)=0 $ ?
Mi stai chiedendo se è vero che $lim_{x to 0} frac{o(x^2)}{x}=0$?
se è questo che mi stai chiedendo, pensa alla definizione: un o-piccolo di $x^2$ se diviso per $x^2$, va a zero. Ora moltiplica sopra e sotto per x. Rimane $lim frac{o(x^2)}{x^2}*x$ e puoi notare che viene $0*0=0$.
con questo metodo puoi generalizzare cioè che ti dicevo prima, cioè: per $x to 0$, $x^a=o(x^b) AA a>b$. basta ricordare che $lim_{x to 0} x^g=0 if g>0$, $=oo if g<0$, $=1 if g=0$ (spero che questa cosa sia chiara). Ora per controllare se $x^a$ è o-piccolo di $x^b$, considero il loro rapporto e guardo se tende a zero.
$lim frac{x^a}{x^b}=lim x^{a-b}$, ma, per definizione, $a>b => a-b>0$, dunque il limite vale zero.
Da questo discende che se $f=o(g)$ e $g=o(h)$, allora $f=o(h)$. Quindi ad esempio $x=o(1)$, infatti $lim_{x to 0} x/1=0$. inoltre $x^2=o(x)$, infatti $lim_{x to 0} frac{x^2}{x}=0$. dunque $x=o(1)$...
se ti interessa una dimostrazione piú esplicita di questo fatto dimmi pure e vedo cosa so.
se è questo che mi stai chiedendo, pensa alla definizione: un o-piccolo di $x^2$ se diviso per $x^2$, va a zero. Ora moltiplica sopra e sotto per x. Rimane $lim frac{o(x^2)}{x^2}*x$ e puoi notare che viene $0*0=0$.
con questo metodo puoi generalizzare cioè che ti dicevo prima, cioè: per $x to 0$, $x^a=o(x^b) AA a>b$. basta ricordare che $lim_{x to 0} x^g=0 if g>0$, $=oo if g<0$, $=1 if g=0$ (spero che questa cosa sia chiara). Ora per controllare se $x^a$ è o-piccolo di $x^b$, considero il loro rapporto e guardo se tende a zero.
$lim frac{x^a}{x^b}=lim x^{a-b}$, ma, per definizione, $a>b => a-b>0$, dunque il limite vale zero.
Da questo discende che se $f=o(g)$ e $g=o(h)$, allora $f=o(h)$. Quindi ad esempio $x=o(1)$, infatti $lim_{x to 0} x/1=0$. inoltre $x^2=o(x)$, infatti $lim_{x to 0} frac{x^2}{x}=0$. dunque $x=o(1)$...
se ti interessa una dimostrazione piú esplicita di questo fatto dimmi pure e vedo cosa so.
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