Dubbio teorema fondamentale del calcolo integrale
Emh, ho dei dubbi, sugli integrali, io so che l'integrale è l'inseme delle primitive di una funzione, che in sostanza significa l'insieme di quelle funzioni la cui derivata coincide esattamente con la funzione di partenza.
Per esempio se ho:
[tex]\int senx[/tex] =-cosx
Perchè se ho un integrale del tipo:
[tex]\int sen(3x)dx[/tex] risulta [tex]\frac{1}{3}cos(3x)+k[/tex] ?
Siccome non l'ho ben capita, vorrei apire come funziona la regola fondamentale del calcolo dell'integrale, perchè molti non mi riescono per questa.
P.S. abbiamo fatto prima gli integrali indefiniti, quindi siccome la regola parte dai definiti mi risulta difficile capirla.
Come si calcolano gli integrali seconda la formula fondamentale?
Mi fareste qualche esempio? magari più di uno?
Grazie.
Per esempio se ho:
[tex]\int senx[/tex] =-cosx
Perchè se ho un integrale del tipo:
[tex]\int sen(3x)dx[/tex] risulta [tex]\frac{1}{3}cos(3x)+k[/tex] ?
Siccome non l'ho ben capita, vorrei apire come funziona la regola fondamentale del calcolo dell'integrale, perchè molti non mi riescono per questa.
P.S. abbiamo fatto prima gli integrali indefiniti, quindi siccome la regola parte dai definiti mi risulta difficile capirla.
Come si calcolano gli integrali seconda la formula fondamentale?
Mi fareste qualche esempio? magari più di uno?
Grazie.
Risposte
pensa di derivare [tex]\cos(3x)[/tex]. Cosa ottieni? [tex]-3\sin(3x)[/tex].
Se però ci metti [tex]\frac{1}{3}[/tex] davanti e aggiungi un [tex]k \in \mathbb{R}[/tex] e pensi al rapporto differenziazione-integrazione ottieni quello che ti serve....(manca un meno davanti alla tua formula cmq...stupido schermo piccolo
)
Spero che questo ora ti sia più chiaro.
Se però ci metti [tex]\frac{1}{3}[/tex] davanti e aggiungi un [tex]k \in \mathbb{R}[/tex] e pensi al rapporto differenziazione-integrazione ottieni quello che ti serve....(manca un meno davanti alla tua formula cmq...stupido schermo piccolo
)Spero che questo ora ti sia più chiaro.
"Luc@s":
pensa di derivare [tex]\cos(3x)[/tex]. Cosa ottieni? [tex]3\sin(3x)[/tex].
(con un meno davanti)
No, non ho capito. Scusa.
[tex]sin3x[/tex] se io derivassi cos3x otterrei -3sin3x?
la mia priitiva dovrebbe essere -cos3x per ottenere 3sin3x.
Ora il tuo ragionamento è moltpiplicare per un terzo per ottenere la funzione di partenza.
Ma che faccio moltiplico per un terzo e basta? Così cambio la quantità.
Cioè non è che funziona a convenienza...
[tex]sin3x[/tex] se io derivassi cos3x otterrei -3sin3x?
la mia priitiva dovrebbe essere -cos3x per ottenere 3sin3x.
Ora il tuo ragionamento è moltpiplicare per un terzo per ottenere la funzione di partenza.
Ma che faccio moltiplico per un terzo e basta? Così cambio la quantità.
Cioè non è che funziona a convenienza...
[tex]\int \sin(nx)dx= -\frac{1}{n}\cos(nx)+k \qquad n \in \mathbb{N}[/tex] e [tex]\int \cos(nx)dx= \frac{1}{n}\sin(nx)+k \qquad n \in \mathbb{N}[/tex]
Rileggi che ho sistemato un refuso.
Rileggi che ho sistemato un refuso.
Invece se avessi:
[tex]\int x\sqrt[3]{1+x^2}dx[/tex]
Si può scrivere come:
[tex]\int x dx * \int \sqrt[3]{1+x^2}dx[/tex] ?
Io avrei così derivato il primo e il secondo ma il risultato mi viene:
[tex]\frac{(x^2)(3)(x^2+1)^{4/3}}{8}[/tex]
Non capisco perchè non ci vuole quel [tex]x^2[/tex] al numeratore.
[tex]\int x\sqrt[3]{1+x^2}dx[/tex]
Si può scrivere come:
[tex]\int x dx * \int \sqrt[3]{1+x^2}dx[/tex] ?
Io avrei così derivato il primo e il secondo ma il risultato mi viene:
[tex]\frac{(x^2)(3)(x^2+1)^{4/3}}{8}[/tex]
Non capisco perchè non ci vuole quel [tex]x^2[/tex] al numeratore.
l'integrale è linearmente additivo* non moltiplicativo.
I prodotti si integrano per parti o sostituzione.
*: [tex]\int \alpha a(x)+\beta b(x) dx= \alpha\int a(x) dx+\beta \int b(x) dx[/tex]
I prodotti si integrano per parti o sostituzione.
*: [tex]\int \alpha a(x)+\beta b(x) dx= \alpha\int a(x) dx+\beta \int b(x) dx[/tex]
No assolutamente, gli integrali sono operatori linerari: la somma di integrali di funzioni è l'integrale della somma delle funzioni; l'integrale di una funzione per una costante è l'integrale della funzione per la costante.
L'integrale che hai scritto si risolve col metodo d'integrazione per parti.
L'integrale che hai scritto si risolve col metodo d'integrazione per parti.
Scegliereste x come fattore finito?
la derivata ti semplifica i calcoli? E questa la linea guida per la scelta di tale fattore 
Allora deduco di si....
Però per scegliere il fattore g'(x)...è un pò complicato....cioè dovrei trovare la funzione la cui derivata mi dà quella radice....
Però per scegliere il fattore g'(x)...è un pò complicato....cioè dovrei trovare la funzione la cui derivata mi dà quella radice....
sfrutta il fatto che è $(1+x^2)^{\frac{1}{3}}$
"guitarplaying":
Allora deduco di si....
Però per scegliere il fattore g'(x)...è un pò complicato....cioè dovrei trovare la funzione la cui derivata mi dà quella radice....
esatto!
Considerando che è..[tex](1+x^2)^{\frac{1}{3}}[/tex] avrei alla fine
[tex]\frac{3(1+x^2)^{\frac{4}{3}}}{4}[/tex]?????
[tex]\frac{3(1+x^2)^{\frac{4}{3}}}{4}[/tex]?????
era un modo di vedere la cosa. Non l'unico.
Ma sto provando a calcolarla....però non è che mi quadrino le cose...
No 
, devi tener conto che il radicando non è [tex]x[/tex] ma [tex]1+x^2[/tex]; quest'integrale si risolve col metodo di sostituzione mediante la formula parametrica della tangente. Insomma è un conto complicato.
, devi tener conto che il radicando non è [tex]x[/tex] ma [tex]1+x^2[/tex]; quest'integrale si risolve col metodo di sostituzione mediante la formula parametrica della tangente. Insomma è un conto complicato.
mh...va bene...mi sa che è meglio che mi ripassi le formule prima.....
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