Dubbio teorema di weierstrass?
ciao, ho un dubbio con il teorema di Weierstrass. Ho letto sul libro che una funzione limitata ma non continua non ammette massimo e minimo. Ma l'estremo superiore se la funzione è limitata, non è assunto anche se la funzione non è continua? grazie mille 
Risposte
l'estremo superiore, ed anche quello inferiore, esistono e sono finiti se la funzione è limitata, ma non è detto che siano il massimo e il minimo.
provo a farti un esempio. considera la funzione seguente nell'intervallo [0,2]:
$f(x)={(x, " if " 0<=x<=1 ), (3-x, " if " 1
$f(1)=1$ ma $lim_(x->1^+)\f(x)=2$, e $2$ è l'estremo superiore ma non il massimo.
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
provo a farti un esempio. considera la funzione seguente nell'intervallo [0,2]:
$f(x)={(x, " if " 0<=x<=1 ), (3-x, " if " 1
$f(1)=1$ ma $lim_(x->1^+)\f(x)=2$, e $2$ è l'estremo superiore ma non il massimo.
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
ciao, grzie di avermi risposto....ma perchè $2$ non è il massimo? sono un po'confusa..
anche perchè non ho capito come calcolare l'estremo sup e quello inferiore di una fuznione e di un insiene..grazie ancora
anche perchè non ho capito come calcolare l'estremo sup e quello inferiore di una fuznione e di un insiene..grazie ancora
io naturalmente parlo di $2$ come valore di $y=f(x)$.
se prendiamo come dominio $[0,2]$, il codominio è l'intervallo chiuso-aperto $[0,2)$, cioè $2$ non appartiene al codominio (o immagine) della funzione, dunque non può essere il massimo.
è solo l'estremo superiore, nel senso che è il più piccolo dei maggioranti.
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
se prendiamo come dominio $[0,2]$, il codominio è l'intervallo chiuso-aperto $[0,2)$, cioè $2$ non appartiene al codominio (o immagine) della funzione, dunque non può essere il massimo.
è solo l'estremo superiore, nel senso che è il più piccolo dei maggioranti.
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
ciao, in effetti avevo letto che l'estremo superiore di una funzione è il sup del suo codominio , ma come faccio in questo caso a trovarmi il codominio della fuznione ?
ho un altro dubbio inerente i sup e gli inf si un insieme o di una funzione: li posso fare facendo i limiti che tendono a $ 00$ o a $-00$? grazie mille
ho un altro dubbio inerente i sup e gli inf si un insieme o di una funzione: li posso fare facendo i limiti che tendono a $ 00$ o a $-00$? grazie mille
"silstar":Spero per te che "sul libro"(*) non ci fosse scritto questo.
Ho letto sul libro che una funzione limitatra ma non continua non ammette massimo e minimo.
(*) presumo che "sul libro" sia una espressione sintetica per indicare il libro di testo o uno dei libri di testo di un corso che stai seguendo o che hai seguito e che, comunque stai studiando
PS:
weirstrass
Weiesrtrass
Weierstrass
"silstar":
ciao, in effetti avevo letto che l'estremo superiore di una funzione è il sup del suo codominio , ma come faccio in questo caso a trovarmi il codominio della fuznione ?
ho un altro dubbio inerente i sup e gli inf si un insieme o di una funzione: li posso fare facendo i limiti che tendono a $ 00$ o a $-00$? grazie mille
questo è un altro problema.
1) correggi gli errori che ti ha segnalato Fioravante Patrone;
2) i miei precedenti post rispondono alla domanda: "è sempre vero che una funzione limitata, ben definita in un intervallo chiuso e limitato, anche se non è continua, ha massimo e minimo in tale intervallo?". NO, vedi esempio: è chiaro che ha sup, ma non ha max. l'esempio dato ha invece $"min=inf=0="f(0)$.
3) per quanto riguarda il codominio, questo in generale non è detto che si riesca a determinare in maniera banale: occorre effettuare lo studio di funzione e considerare, oltre a $+-oo$ , agli estremi degli intervalli che costituiscono il dominio e ai punti "isolati" di discontinuità, anche gli estremi degli intervalli ("tratti") se la funzione è, come la maggior parte delle funzioni "elementari", monotòna a tratti. in poche parole, devi studiarne l'andamento. nell'esempio fornito, la funzione è crescente in $(0,1)$ e decrescente in $(1,2)$.
spero sia chiaro. rifletti e facci sapere. ciao e buon 2011.
grazie mille !
prego!
"Fioravante Patrone":Spero per te che "sul libro"(*) non ci fosse scritto questo.
[quote="silstar"]Ho letto sul libro che una funzione limitatra ma non continua non ammette massimo e minimo.
[/quote]
Stesso pensiero che ho avuto.
Weierstrass ti dice che se hai una funzione continua in un intervallo chiuso, allora esiste un massimo ed un minimo; a proposito, se la funzione è una retta, massimo e minimo coincidono?
"Giant_Rick":Spero per te che "sul libro"(*) non ci fosse scritto questo.
[quote="Fioravante Patrone"][quote="silstar"]Ho letto sul libro che una funzione limitatra ma non continua non ammette massimo e minimo.
[/quote]
Stesso pensiero che ho avuto.
Weierstrass ti dice che se hai una funzione continua in un intervallo chiuso, allora esiste un massimo ed un minimo; a proposito, se la funzione è una retta, massimo e minimo coincidono?[/quote]
la correzione fatta evidentemente non ha riguardato il dubbio principale: che cosa c'è scritto ... ?
poi, se la funzione è una costante (con grafico un segmento orizzontale, visto che parliamo di un intervallo chiuso e limitato), è naturale che massimo e minimo coincidono.
se invece il grafico è un segmento obliquo, massimo e minimo sono diversi e sono in corrispondenza dei due estremi (in quale dei due ci sia il max o il min dipende dal tipo di monotonia...).
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