Dubbio Teorema di Swartz
Salve, ho dei dubbi su questa dimostrazione del Teorema di Swartz della commutatività dell'ordine di derivazione.
Enunciato
Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $A$ aperto, una funzione che ammette derivate parziali seconde miste $f_{xy}$, $f_{yx}$ su $A$ e queste sono continue in $x^0\in A$, allora è $f_{xy}(x^0)=f_{yx}(x^0)$.
Dimostrazione:
Per il Teorema di Lagrange si ha:
-$f_x(x_0,y)-f_x(x_0,y_0)=f_{xy}(x_0,\tau_y)$ con $|\tau_y -y|\leq |y-y_0|$
-$f_y(x,y_0)-f_y(x_0,y_0)=f_{yx}(\tau_x,y_0)$ con $|\tau_x -x|\leq |x-x_0|$
quindi si ha $|f_{xy}(x_0,\tau_y)-f_{yx}(\tau_x,y_0)|=|f_x(x_0,y)-f_x(x_0,y_0)-(f_y(x,y_0)-f_y(x_0,y_0))|$
Le funzioni $f_x(x_0,y)$ al variare di $y$ e $f_y(x,y_0)$ al variare di $x$ sono continue poichè sono derivabili per ipotesi( esistono le derivate parziali miste) per cui al tendere di $(x,y)\to(x_0,y_0)$ si ha che $(\tau_x,\tau_y)\to(x_0,y_0)$ e dalla continuità in $(x_0,y_0)$ delle derivate seconde miste segue che che $f_{xy}(x_0,y_0)-f_{yx}(x_0,y_0=0$. fine.
Questa è una dimostrazione che ho abbozzato io ma mi pare semplice in confronto a quella classica e ho sospettato che ci fosse un errore anche se rivedendola più volte non mi pare ce ne sia alcuno, cosa dite?
Tra l'altro l'ipotesi che le derivate miste siano continue in $A$ mi pare sovrabbondante, infatti nella dimostrazione mi è bastato che a essere continue fossero le loro sezioni, $f_{xy}(x_0,y)$ e $f_{yx}(x,y_0)$, rispettivamente nei punti $y_0,x_0$
Enunciato
Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $A$ aperto, una funzione che ammette derivate parziali seconde miste $f_{xy}$, $f_{yx}$ su $A$ e queste sono continue in $x^0\in A$, allora è $f_{xy}(x^0)=f_{yx}(x^0)$.
Dimostrazione:
Per il Teorema di Lagrange si ha:
-$f_x(x_0,y)-f_x(x_0,y_0)=f_{xy}(x_0,\tau_y)$ con $|\tau_y -y|\leq |y-y_0|$
-$f_y(x,y_0)-f_y(x_0,y_0)=f_{yx}(\tau_x,y_0)$ con $|\tau_x -x|\leq |x-x_0|$
quindi si ha $|f_{xy}(x_0,\tau_y)-f_{yx}(\tau_x,y_0)|=|f_x(x_0,y)-f_x(x_0,y_0)-(f_y(x,y_0)-f_y(x_0,y_0))|$
Le funzioni $f_x(x_0,y)$ al variare di $y$ e $f_y(x,y_0)$ al variare di $x$ sono continue poichè sono derivabili per ipotesi( esistono le derivate parziali miste) per cui al tendere di $(x,y)\to(x_0,y_0)$ si ha che $(\tau_x,\tau_y)\to(x_0,y_0)$ e dalla continuità in $(x_0,y_0)$ delle derivate seconde miste segue che che $f_{xy}(x_0,y_0)-f_{yx}(x_0,y_0=0$. fine.
Questa è una dimostrazione che ho abbozzato io ma mi pare semplice in confronto a quella classica e ho sospettato che ci fosse un errore anche se rivedendola più volte non mi pare ce ne sia alcuno, cosa dite?
Tra l'altro l'ipotesi che le derivate miste siano continue in $A$ mi pare sovrabbondante, infatti nella dimostrazione mi è bastato che a essere continue fossero le loro sezioni, $f_{xy}(x_0,y)$ e $f_{yx}(x,y_0)$, rispettivamente nei punti $y_0,x_0$
Risposte
Forse può aiutare. (Comunque il signore si chiamava "Schwarz", tedesco, da non confondere con "Schwartz" che invece era francese).
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