Dubbio svolgimento limite di funzione con logaritmi

[Silvietta911]

salve a tutti
ho un problema con lo svolgimento di questo limite:

$ lim_(x -> +oo) x(ln(x^3+1) - 3ln(x)) $

vi dico come ho svolto io, il prof ha detto che era sbagliato:

ho raccolto \(\displaystyle x^3 \)
quindi mi viene

$ lim x(ln x^3 (1+ 1/x^3) - 3ln(x)) $

qui posso dire che $ 1/x^3 $ è uguale a zero (questo è giusto??), dopo di questo mi ritrovo in questa situazione:

$ lim x(ln x^3 - 3ln(x)) $

in questo passaggio avevo pensato di applicare la proprietà dei logaritmi passando la potenza della x dietro al logaritmo,
cosi da avere questo risultato:

$ lim x(3ln x - 3ln x) $

a questo punto dico che i valori dentro le parentesi si annullano e rimango con il limite di x che quindi è infinito, ma non è cosi.
Potete dirmi dove ho sbagliato o se ho proprio sbagliato tutto il procedimento?
grazie a tutti,
ciao ciao

[Noisemaker]

"Silvietta91":

ho raccolto \(\displaystyle x^3 \)
quindi mi viene

$ lim x(ln x^3 (1+ 1/x^3) - 3ln(x)) $

Questo non va bene ... per le proprietà dei logaritmi hai che

\[\ln\left(\prod_{i=1}^{n}a_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\ln a_i,\]
quindi quando raccogli hai che
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x^3+1)-3\ln x\right)=\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln\left[x^3\left(1+\frac{1}{x^3}\right)\right]-3\ln x\right)=\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln x^3+\ln\left(1+\frac{1}{x^3}\right) -3\ln x\right)...
\end{align}

[Silvietta911]

grazie adesso ho capito
non l'avevo proprio notato, funziona allo stesso modo della divisione che diventa una differenza eppure in questo caso mi viene spontaneo farlo, qui un pò meno...
comunque apparte questo errore al passaggio successivo posso riprendere con quello che avevo fatto io?
cioè $ ln(1 + 1/x^3) $ qui posso dire che $ 1/x^3 $ è uguale a zero quindi mi rimane $ ln 1 $ che è uguale a zero
mentre $ ln x^3 $ diventa $ 3lnx $
sono punto a capo
sto pensando che sbaglio proprio il metodo...

[Noisemaker]

con calma! allora se ogliamo seguire la tua strada, arrivati qui
\begin{align} =\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln x^3+\ln\left(1+\frac{1}{x^3}\right) -3\ln x\right)\end{align}
sempre per le proprietà dei logaritmi abbiamo:
\begin{align} \lim_{x\to+\infty}x\left(3\ln x +\ln\left(1+\frac{1}{x^3}\right) -3\ln x\right)=\lim_{x\to+\infty}x\left[\ln\left(1+\frac{1}{x^3}\right)\right];\end{align}
fino a questo punto non abbiamo fatto nessuna semplificazione pericolosa, nel senso che non abbiamo perso nessuna informazione sulla funzione iniziale, avendola trasformata solo con le proprietà dei logaritmi; a questo punto si possono seguire più strade:

[*:2pwogxyf] operando la sostituzione $1/x=t$ ottenendo:
\begin{align} \lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[\ln\left(1+t^3\right)\right]=\lim_{t\to0}\frac{\ln\left(1+t^3\right)}{t^3}\cdot t^2=0 , \end{align}
essendo
\begin{align} \lim_{t\to0}\frac{\ln\left(1+t^3\right)}{t^3} =1; \end{align}[/*:m:2pwogxyf]
[*:2pwogxyf] usando le stime asintotiche, cioè ricordando che quando $x\to0$ $$ \ln (1+x)\sim x,$$
e dunque:
\begin{align} \lim_{x\to+\infty}x\left[\ln\left(1+\frac{1}{x^3}\right)\right]\sim\lim_{x\to+\infty}x\cdot\frac{1}{x^3} =\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^2} =0;
\end{align}[/*:m:2pwogxyf]
[*:2pwogxyf] oppure, pardendo dal limite iniziale:
\begin{align} \lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x^3+1)-3\ln x\right)&=\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(\frac{x^3+1}{x^3}\right) \sim
\lim_{x\to+\infty}x \left(\frac{x^3+1}{x^3}-1\right) = \lim_{x\to+\infty}x \left(\frac{ 1}{x^3} \right) \\
&= \lim_{x\to+\infty} \frac{ 1}{x^2} =0,
\end{align}
ricordando che
\begin{align}
\mbox{se}\quad f(x)\to 1 \quad\Rightarrow\quad \ln f(x)\sim f(x)-1,\quad x\to x_0.
\end{align}
[/*:m:2pwogxyf][/list:u:2pwogxyf]

[Silvietta911]

ok adesso è tutto chiaro!
la prima soluzione è molto articolata in quanto ci sono sostituzioni e stime asintotiche che penso di non saper gestire al meglio, la seconda è più immediata e per i miei canoni penso che vada molto bene...
grazie mille!!