Dubbio sviluppo in serie di McLaurin di $y=e^(6x-log(x+1))$

[wello]

Ciao a tutti

ho un piccolo dubbio su sviluppo in serie di McLaurin di $y=e^(6x-log(x+1))$ fino al II ordine.

Saltando i calcoli delle derivate, sò che:

$y(0)=1$
$y'(0)=5$
$y''(0)=26$

lo sviluppo dovrebbe essere

$y=1+(5)/(1!)*x+26/(2!)*x^2$

mentre la soluzione del professore risulta essere:

$y=1+(5)/(1!)*x+26/(2!)*x^2+o(x^3)$

Il mio dubbio è $o(x^3)$. Cos'è? Perchè lo inserisce anche se la consegna dell'esercizio dice di sviluppare fino al II ordine?

Grazie a tutti per l'attenzione!

[Camillo]

Perchè avendo messo il segno $ = $ solo aggiungendo $+o(x^3) $ l'uguaglianza è vera .

[wello]

Ciao Camillo,

perdonami, ma non ho capito la tua risposta.
Potresti dirmi dove posso recuperare info, o ancora meglio spiegarmi che significa $0(x^3)$?

Grazie mille!

[franced]

"wello":
sviluppo in serie di McLaurin di $y=e^(6x-log(x+1))$ fino al II ordine.

Io farei senza derivate:

$e^{6 x - ln(x + 1)} = e^(6 x) * e^{-ln(x + 1)}$

quindi, poiché

$e^(6 x) = 1 + 6 x + 18 x^2 + 36 x^3 + 54 x^4 + ...$

$e^{-ln(x + 1)} = 1/(x + 1) = 1/(1-(-x)) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...$

se moltiplichi queste due serie ottieni:

$e^(6 x) * e^{-ln(x + 1)} = 1 + 5 x + 13 x^2 + ...$

[wello]

Perdonatemi ma non mi è ancora chiara la cosa...

[franced]

Tranquillo, volevo solo far vedere che, talvolta, si può fare senza le derivate!

[wello]

Perfetto!

Ora mi è tutto chiaro!

Grazie mille a tutti per il tempo dedicatomi

Buona giornata e buon weekend!