Dubbio sviluppo in serie di Laurent

[poncelet]

Si deve cercare lo sviluppo in serie di Laurent di $1/(1+z^2)$ nella corona $A(0;1;oo)$. Nelle dispense si dice:

$1/(1+z^2)=1/z^2*1/(1+1/z^2)=1/z^2sum_(0)^(oo)(1/z^2)^n=sum_(-oo)^(0)z^(-2(n+1))$

Non capisco due cose:

1) come passa da $1/(1+1/z^2)$ a $sum_(0)^(oo)(1/z^2)^n$. Ho capito che sfrutta la serie geometrica (per $|z|>1$). Però non dovrebbe essere $sum_(0)^(oo)(1/z^2)^n=1/(1-1/z^2)$ anziché $1/(1+1/z^2)$?

2) non capisco come passa alla fine da $1/z^2sum_(0)^(oo)(1/z^2)^n$ a $sum_(-oo)^(0)z^(-2(n+1))$.

[ciampax]

1) In effetti dovrebbe essere

[tex]$\frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{z^2}\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{z^2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{-2n}$[/tex]

2) Nel secondo passaggio, porti $z^{-2}$ dentro la sommatoria e usi le proprietà delle potenze.

[poncelet]

"ciampax":
2) Nel secondo passaggio, porti $z^{-2}$ dentro la sommatoria e usi le proprietà delle potenze.

Però non capisco perché la serie alla fine va da $-oo$ a $0$

[ciampax]

Ah.... non l'avevo notato sto fatto. Effettivamente mi pare strano. Magari ha solo dimenticato di togliere il meno ad esponente.