Dubbio sviluppi in serie di Taylor
salve,
Non capisco un applicazione degli sviluppi in serie di taylor nelle materie ingegneristiche. Mi spiego: spesso per sviluppare in serie si richiede che un termine sia molto piccolo (e si scrive tipo se termine<<1 allora sviluppo con taylor).
però nella trattazione in analisi non trovo questa indicazione e non capisco come far coincidere le due visioni e perché si richieda questo. Qualcuno saprebbe darmi un aiuto?
Non capisco un applicazione degli sviluppi in serie di taylor nelle materie ingegneristiche. Mi spiego: spesso per sviluppare in serie si richiede che un termine sia molto piccolo (e si scrive tipo se termine<<1 allora sviluppo con taylor).
però nella trattazione in analisi non trovo questa indicazione e non capisco come far coincidere le due visioni e perché si richieda questo. Qualcuno saprebbe darmi un aiuto?
Risposte
Ciao dubbiosico,
Benvenuto sul forum!
Beh, diciamo che è un'approssimazione... Per esempio sappiamo che $\AA x in \RR $ si ha:
$e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) = 1 + x + x^2/2 + ... $
Ora se [tex]0 < x \ll 1[/tex] è chiaro che tutti i termini da quello di secondo grado in poi possono essere trascurati sicché si può scrivere:
$e^x ~~ 1 + x $
Benvenuto sul forum!
Beh, diciamo che è un'approssimazione... Per esempio sappiamo che $\AA x in \RR $ si ha:
$e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) = 1 + x + x^2/2 + ... $
Ora se [tex]0 < x \ll 1[/tex] è chiaro che tutti i termini da quello di secondo grado in poi possono essere trascurati sicché si può scrivere:
$e^x ~~ 1 + x $
Ciao e grazie del benevenuto.
Quindi se ho ben capito il tuo suggerimento, quando diciamo 0
Avevo mal interpretato il Prof. io credevo lo dicesse proprio come sviluppo.(ad esempio lo sua molto nel binomio o nel seno)
Quindi se ho ben capito il tuo suggerimento, quando diciamo 0
Avevo mal interpretato il Prof. io credevo lo dicesse proprio come sviluppo.(ad esempio lo sua molto nel binomio o nel seno)
"dubbiosico":
Avevo mal interpretato il Prof. io credevo lo dicesse proprio come sviluppo.(ad esempio lo usa molto nel binomio o nel seno)
Oltre a quello che ti ho già scritto, tipicamente gli sviluppi in serie più usati sono i seguenti:
$(1 + x)^a = \sum_{k = 0}^{+\infty} ((a),(k)) x^k = 1 + ax + (a(a - 1))/2 x^2 + (a(a - 1)(a - 2))/6 x^3 + ... + ((a),(n)) x^n + o(x^n) $
che vale per $|x| < 1$. Se [tex]0 < x \ll 1[/tex] allora si può scrivere $(1 + x)^a ~~ 1 + ax $
$sin x = \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k x^{2k + 1}/((2k + 1)!) = x - x^3/6 + x^5/120 + ... + (-1)^n x^{2n + 1}/((2n + 1)!) + o(x^{2n + 1}) $
che vale $\AA x \in \RR $. Se [tex]0 < x \ll 1[/tex] allora si può scrivere $sin x ~~ x $
Poi se il tuo professore ne ha usati altri e hai dei dubbi su quelli puoi riportarli tranquillamente.
Esattamente, proprio quelli erano i casi per cui scriveva 0
Solo un'ultima domanda: io ho visto le espansioni in serie come le formule scritte da te quando valgono appunto la condizione di derivabilità fino ad es. a n-1 e quindi ho i resti di peano Rn.
Però non capisco da cosa derivi |x|<1 ad esempio nel caso del binomio, cioè perché valga sotto quella condizione.
Solo un'ultima domanda: io ho visto le espansioni in serie come le formule scritte da te quando valgono appunto la condizione di derivabilità fino ad es. a n-1 e quindi ho i resti di peano Rn.
Però non capisco da cosa derivi |x|<1 ad esempio nel caso del binomio, cioè perché valga sotto quella condizione.
Beh, perché è una serie di potenze che ha raggio di convergenza $R = 1 $, sicché converge per $|x| < 1 $
Puoi dare un'occhiata ad esempio qui: https://valli.maths.unitn.it/teaching/serie_binomiale2.pdf
D'altronde la cosa non deve sorprenderti, perché anche per la ben nota serie geometrica si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^n x^k = \sum_{k = 0}^{+\infty} x^k = \lim_{n \to +\infty} (1 - x^{n + 1})/(1 - x) $
Nell'ultimo limite l'unico termine che dipende da $n$ è $x^{n + 1} $: si ha $\lim_{n \to +\infty} x^{n + 1} = 0 \iff |x| < 1 $
Puoi dare un'occhiata ad esempio qui: https://valli.maths.unitn.it/teaching/serie_binomiale2.pdf
D'altronde la cosa non deve sorprenderti, perché anche per la ben nota serie geometrica si ha:
$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^n x^k = \sum_{k = 0}^{+\infty} x^k = \lim_{n \to +\infty} (1 - x^{n + 1})/(1 - x) $
Nell'ultimo limite l'unico termine che dipende da $n$ è $x^{n + 1} $: si ha $\lim_{n \to +\infty} x^{n + 1} = 0 \iff |x| < 1 $
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