Dubbio sull'utilizzo degli sviluppi di Mac Laurin nei limiti
Sia $f: (a,b) \to RR$, $0\in(a,b)$, $f$ derivabile
$n-$volte in $0$.
Allora sappiamo che $f(x)=$$f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)x^{2}}{2!}+...+\frac{f^{n}(0)x^{n}}{n!}+o(x^{n})$
Quindi se $0\notin(a,b)$ non ha senso parlare di sviluppo di Mac-Laurin
di $f$ centrato in $0$.
Il dubbio che ho, riguarda il caso in cui questi sviluppi vengono
usati nel calcolo dei limiti.
Cioè, in questo caso, basta che $0$ sia punto di accumulazione per
$f$?
Esempio:
andando su un qualsiasi calcolatore online, si trova che lo sviluppo
di $f(x)=(1+x)^{\frac{sinx}{x}}$ in $0$ è
$ (1+x)^{\frac{sinx}{x}}=1+x-\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{4}}{12}+o(x^{4})$
Ora, questa uguaglianza è consentita perchè siamo in presenza di un limite?
Perchè naturalmente non avrebbe senso calcolare $f(0)=(1+x)^{\frac{0}{0}}$!!
Illuminatemi per favore!
Grazie a tutti!
$n-$volte in $0$.
Allora sappiamo che $f(x)=$$f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)x^{2}}{2!}+...+\frac{f^{n}(0)x^{n}}{n!}+o(x^{n})$
Quindi se $0\notin(a,b)$ non ha senso parlare di sviluppo di Mac-Laurin
di $f$ centrato in $0$.
Il dubbio che ho, riguarda il caso in cui questi sviluppi vengono
usati nel calcolo dei limiti.
Cioè, in questo caso, basta che $0$ sia punto di accumulazione per
$f$?
Esempio:
andando su un qualsiasi calcolatore online, si trova che lo sviluppo
di $f(x)=(1+x)^{\frac{sinx}{x}}$ in $0$ è
$ (1+x)^{\frac{sinx}{x}}=1+x-\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{4}}{12}+o(x^{4})$
Ora, questa uguaglianza è consentita perchè siamo in presenza di un limite?
Perchè naturalmente non avrebbe senso calcolare $f(0)=(1+x)^{\frac{0}{0}}$!!
Illuminatemi per favore!
Grazie a tutti!
Risposte
La $f()=(1+x)^((sin x)/x)$ ha una falsa discontinuità in $0$, come puoi facilmente dimostrare calcolando il $lim_(x\to 0) f(x)$.
Quando applichi MacLaurin all'ordine $n$ devi accertarti che la tua funzione sia quantomeno derivabile $n$ volte intorno a $0$, cosa che non è banalissima nel tuo caso.
Quando applichi MacLaurin all'ordine $n$ devi accertarti che la tua funzione sia quantomeno derivabile $n$ volte intorno a $0$, cosa che non è banalissima nel tuo caso.
Per "falsa discontinuità" intendi dire "discontinuità eliminabile"?
La funzione non è continua in perchè 0 non appartiene al suo dominio...
Inoltre quando dici "derivabile n volte" ammetti che debba esistere anche la derivata di ordine 0, cioè deve esistere f(0), (cosa che in questo caso non avviene....)?
La funzione non è continua in perchè 0 non appartiene al suo dominio...
Inoltre quando dici "derivabile n volte" ammetti che debba esistere anche la derivata di ordine 0, cioè deve esistere f(0), (cosa che in questo caso non avviene....)?
Sì, intendo discontinuità eliminabile, come in questo caso (calcola bene il limite: viene finito).
Il limite di f viene 1, per x che tende a 0. Cmq continuo a non capire perchè posso applicare Taylor se la f non è definita in 0...
La $f$ può essere prolungata con continuità su $0$, proprio perchè in $0$ c'è una discontinuità eliminabile.
A questo punto, puoi lavorare sul prolungamento di $f$ (tanto l'operazione di limite, per definizione, prescinde da quanto vale una funzione nel punto di accumulazione: quindi dentro al limite o ci metti $f$ o ci metti il prolungamento, ottieni sempre lo stesso risultato*): se il prolungamento di $f$, oltre che continuo intorno a $0$, è pure derivabile $n$ volte intorno a $0$, puoi applicare McLaurin fino all'ordine $n$ .
__________
* Infatti la definizione di limite in $0$ recita:
$AA epsilon>0, exists delta >0: AA x \in]-delta,delta[ \setminus \{0\}, |f(x)-1|
e come vedi il punto $0$ ed il valore che $f$ assume in esso non vengono proprio considerati nella definizione; anzi, sono deliberatamente esclusi dal ragionamento.
Questo fatto è utile proprio per il motivo che ti dicevo.
A questo punto, puoi lavorare sul prolungamento di $f$ (tanto l'operazione di limite, per definizione, prescinde da quanto vale una funzione nel punto di accumulazione: quindi dentro al limite o ci metti $f$ o ci metti il prolungamento, ottieni sempre lo stesso risultato*): se il prolungamento di $f$, oltre che continuo intorno a $0$, è pure derivabile $n$ volte intorno a $0$, puoi applicare McLaurin fino all'ordine $n$ .
__________
* Infatti la definizione di limite in $0$ recita:
$AA epsilon>0, exists delta >0: AA x \in]-delta,delta[ \setminus \{0\}, |f(x)-1|
e come vedi il punto $0$ ed il valore che $f$ assume in esso non vengono proprio considerati nella definizione; anzi, sono deliberatamente esclusi dal ragionamento.
Questo fatto è utile proprio per il motivo che ti dicevo.
Cioè in pratica tu dici:
"Supponiamo di voler calcolare
$lim_(x->0)(1+x-f(x))/(x^(3))=\lim_{x\to0}\frac{1+x-(1+x)^{sinx/x}}{x^{3}}
con $f(x)=$$(1+x)^{sinx/x}$. La $f$ non è sviluppabile tramite
Taylor.
Tuttavia considerando la funzione ausiliaria $g(x)$ definita come:
$g(x)={((1+x)^{sinx/x},if x!=0),(1,if x=0):}$
possiamo dire che
$lim_{x\to0}\frac{1+x-f(x)}{1+x-g(x)}=lim_{x\to0}\frac{1+x-f(x)}{1+x-f(x)}=1\Rightarrow\lim_{x\to0}\frac{1+x-f(x)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-g(x)}{x^{3}}$
Ora su g posso applicare Taylor e quindi
$lim_{x\to0}\frac{1+x-g(x)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-1-x+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}{x^{3}}=1/6\Rightarrow\lim_{x\to0}\frac{1+x-f(x)}{x^{3}}=1/6$"
giusto?
"Supponiamo di voler calcolare
$lim_(x->0)(1+x-f(x))/(x^(3))=\lim_{x\to0}\frac{1+x-(1+x)^{sinx/x}}{x^{3}}
con $f(x)=$$(1+x)^{sinx/x}$. La $f$ non è sviluppabile tramite
Taylor.
Tuttavia considerando la funzione ausiliaria $g(x)$ definita come:
$g(x)={((1+x)^{sinx/x},if x!=0),(1,if x=0):}$
possiamo dire che
$lim_{x\to0}\frac{1+x-f(x)}{1+x-g(x)}=lim_{x\to0}\frac{1+x-f(x)}{1+x-f(x)}=1\Rightarrow\lim_{x\to0}\frac{1+x-f(x)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-g(x)}{x^{3}}$
Ora su g posso applicare Taylor e quindi
$lim_{x\to0}\frac{1+x-g(x)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{1+x-1-x+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}{x^{3}}=1/6\Rightarrow\lim_{x\to0}\frac{1+x-f(x)}{x^{3}}=1/6$"
giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo