Dubbio sullo studio della convergenza puntuale
Salve ragazzi, avrei un dubbio sui limiti di successioni di funzioni. Meglio se ve lo spiego con un esempio. Prendiamo in considerazione questo limite di successione di funzione:
\(\displaystyle {lim}_{n->\infty} n*(sin(nx))*e^{-nx} \)
Potrei usare le forme notevoli \(\displaystyle \frac{sin(nx)}{nx} = 1 \) e \(\displaystyle n*\frac{nx}{e^{nx}} = 0\). Tuttavia, il mio dubbio è questo: Non dovrei vedere quali valori assume \(\displaystyle (\frac{1}{e^x})^n \) in base a x ed esaminare i vari casi? Facendo così la successione non converge puntualmente per tutti i valori di x.
Sugli appunti del professore alcuni esercizi simili vengono trattati sfruttando i limiti notevoli (come questo), altri li svolge studiando la x caso per caso. Qualcuno potrebbe fare chiarezza in merito per favor?
\(\displaystyle {lim}_{n->\infty} n*(sin(nx))*e^{-nx} \)
Potrei usare le forme notevoli \(\displaystyle \frac{sin(nx)}{nx} = 1 \) e \(\displaystyle n*\frac{nx}{e^{nx}} = 0\). Tuttavia, il mio dubbio è questo: Non dovrei vedere quali valori assume \(\displaystyle (\frac{1}{e^x})^n \) in base a x ed esaminare i vari casi? Facendo così la successione non converge puntualmente per tutti i valori di x.
Sugli appunti del professore alcuni esercizi simili vengono trattati sfruttando i limiti notevoli (come questo), altri li svolge studiando la x caso per caso. Qualcuno potrebbe fare chiarezza in merito per favor?
Risposte
up plz
il limite notevole che hai scritto è falso, non è assolutamente vero che per $n\to + \infty$ si ha che $\frac{sin(nx)}{nx}\to 1$ questo si avrebbe solo se $n\to 0$ quindi attento che questo è un errore mastodontico.
A parte questo tu hai che $|sin(nx)|\leq 1$ per $n\to +\infty$ quindi puoi maggiorare il tuo limite e studiare solo il limite
$$
\lim_{n\to +\infty}ne^{-nx}
$$
ed è chiaro che questo limite esiste ed è pari a $0$ per $x\geq 0$, ma allo stesso tempo il limite diverge a $+\infty$ per $x< 0$ ; quindi questo limite in particolare va per forza studiato per casi; ma in generale tutti questi limiti vanno studiati per casi semplicemente ti possono capitare limiti in cui vi è un unico caso, e probabilmente il professore non ha rimarcato a sufficienza la cosa dando origine al tuo dubbio. Mi spiego con un esempio non troppo lontano dal tuo:
$$
\lim_{n\to +\infty}nsin(\frac{n}{|x|})e^{-\frac{n}{|x|}}=0
$$
come vedi ho cambiato di poco la successione di funzioni, tuttavia con tale modifica il limite puntuale della successione tende a $0$ per ogni $x$ appartenente al dominio delle funzioni della sovra citata successione di funzioni.
A parte questo tu hai che $|sin(nx)|\leq 1$ per $n\to +\infty$ quindi puoi maggiorare il tuo limite e studiare solo il limite
$$
\lim_{n\to +\infty}ne^{-nx}
$$
ed è chiaro che questo limite esiste ed è pari a $0$ per $x\geq 0$, ma allo stesso tempo il limite diverge a $+\infty$ per $x< 0$ ; quindi questo limite in particolare va per forza studiato per casi; ma in generale tutti questi limiti vanno studiati per casi semplicemente ti possono capitare limiti in cui vi è un unico caso, e probabilmente il professore non ha rimarcato a sufficienza la cosa dando origine al tuo dubbio. Mi spiego con un esempio non troppo lontano dal tuo:
$$
\lim_{n\to +\infty}nsin(\frac{n}{|x|})e^{-\frac{n}{|x|}}=0
$$
come vedi ho cambiato di poco la successione di funzioni, tuttavia con tale modifica il limite puntuale della successione tende a $0$ per ogni $x$ appartenente al dominio delle funzioni della sovra citata successione di funzioni.
Ok ti ringrazio per la risposta esaustiva, il procedimento sugli appunti è chiaramente sbagliato. Avrei solo un ultimo dubbio, per \(\displaystyle x=0 \) la successione non converge puntualmente a 0? Avremmo che \(\displaystyle sin(nx) = 0 \) e \(\displaystyle e^{-nx} = 1 \) che moltiplicato a n dovrebbe dare sempre 0.
Si scusa ho sbagliato io, per $x=0$ tutte le funzioni della successione sono nulle, e quindi converge a $0$.
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