Dubbio sull'integrazione
Qualcuno saprebbe dimostrare o confutare la seguente affermazione?
Sia [tex]\left(X,\mu\right)[/tex] uno spazio misurabile e sia [tex]f \ge 0[/tex] una funzione misurabile tale che
[tex]\int_X{f d\mu} = \infty[/tex]
allora [tex]\exists Y \subseteq X[/tex] t.c. [tex]0<\mu(Y)<\mu(X)[/tex] e [tex]\int_{X\setminus Y}{f d\mu} = \infty[/tex]
Vi ringrazio per l'attenzione!
Sia [tex]\left(X,\mu\right)[/tex] uno spazio misurabile e sia [tex]f \ge 0[/tex] una funzione misurabile tale che
[tex]\int_X{f d\mu} = \infty[/tex]
allora [tex]\exists Y \subseteq X[/tex] t.c. [tex]0<\mu(Y)<\mu(X)[/tex] e [tex]\int_{X\setminus Y}{f d\mu} = \infty[/tex]
Vi ringrazio per l'attenzione!
Risposte
Controesempio banalissimo:
[tex]$(M, \mathcal{M}, \mu)[/tex] spazio di misura con [tex]\mathcal{M}=\{\emptyset, M\}[/tex], [tex]\mu(M)=\infty[/tex].
Controesempio leggermente meno demenziale (ma solo leggermente):
[tex]$(M, \mathcal{M}, \mu)=(\mathbb{R}, \mathcal{B}, \delta)[/tex] (sigma-algebra di Borel, delta di Dirac), [tex]$f=\begin{cases} \infty, x=0 \\ 0, x \ne 0\end{cases}[/tex].
P.S.: Ti basta o sono controesempi troppo cretini?
[tex]$(M, \mathcal{M}, \mu)[/tex] spazio di misura con [tex]\mathcal{M}=\{\emptyset, M\}[/tex], [tex]\mu(M)=\infty[/tex].
Controesempio leggermente meno demenziale (ma solo leggermente):
[tex]$(M, \mathcal{M}, \mu)=(\mathbb{R}, \mathcal{B}, \delta)[/tex] (sigma-algebra di Borel, delta di Dirac), [tex]$f=\begin{cases} \infty, x=0 \\ 0, x \ne 0\end{cases}[/tex].
P.S.: Ti basta o sono controesempi troppo cretini?
Accidenti, hai ragione! Scusate, non posterò mai più nulla di così banale, mi ci sarei dovuto soffermare di più, invece di arrendermi subito! Comunque grazie la tempestività!
Ma ci vuole poco a escludere questi casi qui. Per il primo ti basta richiedere che esista almeno un insieme misurabile di misura diversa da [tex]0[/tex] e da [tex]\infty[/tex]; per il secondo puoi richiedere che [tex]f[/tex] sia quasi ovunque finita; e li hai liquidati tutti e due. Con queste piccole richieste aggiuntive, andando completamente a naso, può essere che la proposizione sia vera.
Il problema è che questa cosa è spuntata fuori nell'ambito di un altro quesito, e avevo bisogno di un risultato generico. Il motivo per il quale ho "toppato" (forse le virgolette sono di troppo?) è che
mi ero messo a pensare solamente a funzioni "buone" (qui le virgolette ci stanno bene) e alla misura di Lebesgue (con la sigma algebra di Lebesgue), cosa che non andrebbe mai fatta, bisogna sempre
provare subito con i casi limite (infatti tu hai liquidato la questione in pochissimi minuti).
Comunque, se trovi qualche condizione che renda vera l'affermazione precedente mi farebbe piacere saperla!
mi ero messo a pensare solamente a funzioni "buone" (qui le virgolette ci stanno bene) e alla misura di Lebesgue (con la sigma algebra di Lebesgue), cosa che non andrebbe mai fatta, bisogna sempre
provare subito con i casi limite (infatti tu hai liquidato la questione in pochissimi minuti).
Comunque, se trovi qualche condizione che renda vera l'affermazione precedente mi farebbe piacere saperla!
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