Dubbio sull'integrazione
Salve a tutti, stavo svolgendo un esercizio in preparazione di un esame di Analisi I quando fra i vari passaggi mi sono trovato davanti all'integrale:
$ \int cosx*sinx\ \text{d} x = $
Che so risolvere con sostituzione, senza darci troppo peso ho pensato però invece di raccogliere 1/2 ottenendo così 2cosxsinx come integranda per utilizzare poi la formula per il sin2x, non capisco perchè facendo così ottengo un risultato diverso. Ho ricontrollato i calcoli e non mi sembra ci sia un errore nei pochi passaggi fatti, sto dimenticando qualche regola?
Scusate potrebbe essere una banalità ma mi sono bloccato ahah
$ \int cosx*sinx\ \text{d} x = $
Che so risolvere con sostituzione, senza darci troppo peso ho pensato però invece di raccogliere 1/2 ottenendo così 2cosxsinx come integranda per utilizzare poi la formula per il sin2x, non capisco perchè facendo così ottengo un risultato diverso. Ho ricontrollato i calcoli e non mi sembra ci sia un errore nei pochi passaggi fatti, sto dimenticando qualche regola?
Scusate potrebbe essere una banalità ma mi sono bloccato ahah
Risposte
A me sembra la stessa, prova a disegnarle 
Ciao zig456,
Benvenuto sul forum!
Probabilmente col metodo di sostituzione ti risulta
$ \int cosx sinx\ \text{d}x = -1/2 cos^2 x + c = - 1/2 (1 - sin^2 x) + c = 1/2 sin^2 x + k $
ove $ k := c - 1/2 $. D'altronde, ricordando che $cos^2 x = (1 + cos(2x))/2 $, si ha anche
$ \int cosx sinx\ \text{d}x = -1/4 (1 + cos(2x)) + c = - 1/4 cos(2x) + k' $
ove $k' := c - 1/4 $, che probabilmente è il risultato che hai ottenuto col secondo metodo...
Benvenuto sul forum!
Probabilmente col metodo di sostituzione ti risulta
$ \int cosx sinx\ \text{d}x = -1/2 cos^2 x + c = - 1/2 (1 - sin^2 x) + c = 1/2 sin^2 x + k $
ove $ k := c - 1/2 $. D'altronde, ricordando che $cos^2 x = (1 + cos(2x))/2 $, si ha anche
$ \int cosx sinx\ \text{d}x = -1/4 (1 + cos(2x)) + c = - 1/4 cos(2x) + k' $
ove $k' := c - 1/4 $, che probabilmente è il risultato che hai ottenuto col secondo metodo...
@zig456: in generale, una funzione ammette più di una primitiva in un dato intervallo e si dimostra che due primitive differiscono per costanti. Per verificare che hai effettivamente ottenuto una primitiva dopo il calcolo di un integrale, puoi derivarla e vedere se coincide con la funzione integranda (potrebbe essere necessario manipolare algebricamente la derivata). Quindi, oltre agli altri suggerimenti che hai ricevuto, sappi che non necessariamente deve venirti il risultato della soluzione affinché la tua primitiva sia comunque una primitiva della funzione sotto il segno di integrale.
Per esempio, consideriamo l'integrale
$$\int \frac{1}{1+x^2} \text{d}x$$
Una primitiva della funzione $\frac{1}{1+x^2}$ nell'intervallo $x>0$, è $\arctan x +c$; tuttavia, per $x>0$ vale la relazione $\arctan x = \frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}$ e quindi per $x>0$ è $\arctan x +c = \frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}+c$.
Verifichiamo che per $x>0$ anche quest'ultima è una primitiva di $\frac{1}{1+x^2}$:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}+c\right)=0-\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\frac{1}{x}\right)+0=-\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$
$$=\frac{1}{\frac{x^2+1}{x^2}}\cdot \frac{1}{x^2}=\frac{x^2}{x^2+1} \cdot \frac{1}{x^2}=\frac{1}{1+x^2}$$
Ossia la funzione integranda. Quindi entrambi i risultati sono corretti, essendo anche $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\arctan x+c)=\frac{1}{1+x^2}+0=\frac{1}{1+x^2}$.
Infine, se $x<0$ vale una relazione simile: $\arctan x =-\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}$, quindi torna tutto anche per $x<0$ visto che la derivata di $-\frac{\pi}{2}$ è comunque $0$ e perciò il conto è lo stesso del caso per $x>0$.
Per esempio, consideriamo l'integrale
$$\int \frac{1}{1+x^2} \text{d}x$$
Una primitiva della funzione $\frac{1}{1+x^2}$ nell'intervallo $x>0$, è $\arctan x +c$; tuttavia, per $x>0$ vale la relazione $\arctan x = \frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}$ e quindi per $x>0$ è $\arctan x +c = \frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}+c$.
Verifichiamo che per $x>0$ anche quest'ultima è una primitiva di $\frac{1}{1+x^2}$:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}+c\right)=0-\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\frac{1}{x}\right)+0=-\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$
$$=\frac{1}{\frac{x^2+1}{x^2}}\cdot \frac{1}{x^2}=\frac{x^2}{x^2+1} \cdot \frac{1}{x^2}=\frac{1}{1+x^2}$$
Ossia la funzione integranda. Quindi entrambi i risultati sono corretti, essendo anche $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\arctan x+c)=\frac{1}{1+x^2}+0=\frac{1}{1+x^2}$.
Infine, se $x<0$ vale una relazione simile: $\arctan x =-\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x}$, quindi torna tutto anche per $x<0$ visto che la derivata di $-\frac{\pi}{2}$ è comunque $0$ e perciò il conto è lo stesso del caso per $x>0$.
Grazie mille a tutti per il chiarimento 
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