Dubbio sulle successioni
Una domanda sciocca (mi vergogno quasi di porla)... $lim_n x_n = bar x Rightarrow lim_n x_(n-1) = bar x$ , $x_n in RR$
Per dimostrare questa banalissima implicazione (forse anche ovvia) ho ragionato così:
Dim: $lim_n x_n = bar x Rightarrow x_n$ di Cauchy $Rightarrow AA epsilon > 0 , EE bar n : AA n , m$ se $n, m > bar n$ si ha $|x_n - x_m| < epsilon$
In particolare (posso supporre tranquillamente $n > m$) per $m = n - 1$ trovo che: $|x_n - x_(n-1)| < epsilon$ , cioè la tesi.
Quello che vorrei sapere in definitiva è: era una implicazione evidente?
Per dimostrare questa banalissima implicazione (forse anche ovvia) ho ragionato così:
Dim: $lim_n x_n = bar x Rightarrow x_n$ di Cauchy $Rightarrow AA epsilon > 0 , EE bar n : AA n , m$ se $n, m > bar n$ si ha $|x_n - x_m| < epsilon$
In particolare (posso supporre tranquillamente $n > m$) per $m = n - 1$ trovo che: $|x_n - x_(n-1)| < epsilon$ , cioè la tesi.
Quello che vorrei sapere in definitiva è: era una implicazione evidente?
Risposte
L'implicazione è ovvia, alla luce del fatto che da successioni dotate di limite si estraggono solo successioni dotate dello stesso limite.
D'altra parte la tua dimostrazione non so a cosa mirasse, perchè alla fine non fai vedere che [tex]$\overline{x}=\lim_n x_{n-1}$[/tex].
D'altra parte la tua dimostrazione non so a cosa mirasse, perchè alla fine non fai vedere che [tex]$\overline{x}=\lim_n x_{n-1}$[/tex].
Quindi $x_(n-1)$ è una estratta?
Non dovrebbe essere $x_n$ una successione estratta di $x_(n-1)$?
Non dovrebbe essere $x_n$ una successione estratta di $x_(n-1)$?
Ah, scusa forse ho letto male... Non stai sopprimendo il primo termine, ma ne stai aggiungendo uno all'inizio?
Vabbé, allora questa cosa discende immediatamente dalla definizione di limite, non c'è nemmeno bisogno di scomodare le estratte.
Vabbé, allora questa cosa discende immediatamente dalla definizione di limite, non c'è nemmeno bisogno di scomodare le estratte.
$ AA epsilon > 0 , EE bar n : AA n $ se $n > bar n$ si ha $| f(n-1) - bar x | < epsilon$
Se $AA n > bar n$ vale : $| f(n-1) - bar x | < epsilon$ , allora $AA n > bar n + 1$ si avrà $| f(n) - bar x | < epsilon$
Maledetta stanchezza...
Se $AA n > bar n$ vale : $| f(n-1) - bar x | < epsilon$ , allora $AA n > bar n + 1$ si avrà $| f(n) - bar x | < epsilon$
Maledetta stanchezza...
No dai Seneca ti prego! 
Non è che possiamo stare a cavillare così su ogni minima quisquilia, per quanto ci sia gente che lo fa.
Se $x_n \to l$ allora, detto $y_n=x_{n-1}$, risulta che $y_n to l$, è chiaro: l'unica cosa che cambia è che per ogni $epsilon$ il corrispondente indice $N$ (o $nu$ o $bar{n}$...) deve essere sostituito con $N+1$.
Non è che possiamo stare a cavillare così su ogni minima quisquilia, per quanto ci sia gente che lo fa. Se $x_n \to l$ allora, detto $y_n=x_{n-1}$, risulta che $y_n to l$, è chiaro: l'unica cosa che cambia è che per ogni $epsilon$ il corrispondente indice $N$ (o $nu$ o $bar{n}$...) deve essere sostituito con $N+1$.
"dissonance":
No dai Seneca ti prego!
Nell'ultimo messaggio l'ho scritto, sì... Sono quei momenti in cui sono il vuoto e la stanchezza a dominare.
Quanto ti capisco! In quei momenti è meglio fermarsi e riposare, guarda.
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