Dubbio sulle serie numeriche
Oggi, facevo degli esercizi con un mio collega, e ho proposto la serie:
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{x^n+3+n!}[/tex] [tex]x\in R[/tex]
Dovendone studiare il carattere, mi ricordo che una volta proponendo una serie simile mi era stato detto, al numeratore hai una certa quantità, al denominatore hai la stessa quantità più qualcosa, quindi sai che la serie sarà sempre minore di una costante cioè 1.
Per questo motivo la serie è convergente.
Ora mi ha fatto venire un dubbio il mio collega, la serie sarà sempre minore di 1, ma chi ci dice che converge? Perchè se è sempre minore di 1 possiamo dire che converge?
Noi quando ad esempio calcoliamo la condizione necessaria alla convergenza se otteniamo 0 come limite sappiamo che "potrebbe" convergere e dobbiamo studiarla, qui sappiamo che la serie sarà sempre minore di 1, ma perchè senza applicare corollari possiamo dire che converge?
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{x^n+3+n!}[/tex] [tex]x\in R[/tex]
Dovendone studiare il carattere, mi ricordo che una volta proponendo una serie simile mi era stato detto, al numeratore hai una certa quantità, al denominatore hai la stessa quantità più qualcosa, quindi sai che la serie sarà sempre minore di una costante cioè 1.
Per questo motivo la serie è convergente.
Ora mi ha fatto venire un dubbio il mio collega, la serie sarà sempre minore di 1, ma chi ci dice che converge? Perchè se è sempre minore di 1 possiamo dire che converge?
Noi quando ad esempio calcoliamo la condizione necessaria alla convergenza se otteniamo 0 come limite sappiamo che "potrebbe" convergere e dobbiamo studiarla, qui sappiamo che la serie sarà sempre minore di 1, ma perchè senza applicare corollari possiamo dire che converge?
Risposte
"Darèios89":Ti è stata detta una stupidaggine. Lo dimostra la serie $1+1+1+1+...$. Verifica tu che questo è un controesempio valido.
Dovendone studiare il carattere, mi ricordo che una volta proponendo una serie simile mi era stato detto, al numeratore hai una certa quantità, al denominatore hai la stessa quantità più qualcosa, quindi sai che la serie sarà sempre minore di una costante cioè 1.
Per questo motivo la serie è convergente.
Bè....mi sembra che diverge...positivamente....o no?
Ma come puoi avere dei dubbi? Aggiungi $1$ ad $1$, poi ancora aggiungi $1$, poi ancora aggiungi $1$, ... ti pare che si possa arrivare ad un numero finito? E' importante capire queste cose, per avere un feeling della materia.
Fatti un disegno: parti da un punto del foglio che chiami $0$ poi traccia con una matita un segmento lungo $1$ cm verso destra. Aggiungi un segmento lungo $1$ cm sempre verso destra, poi un altro e un altro: capisci bene che a patto di fare questa operazione abbastanza volte puoi costruire una linea lunga a volontà.
Adesso prova a disegnare un segmento lungo $1$ cm, poi uno lungo $1/2$ cm, poi uno lungo $1/3$ cm, poi uno lungo $1/4$ cm... Ti chiedo: arrivi da qualche parte, o finisci col costruire ancora una linea infinitamente lunga?
E se invece i segmenti sono lunghi $1/2$ cm, $1/4$ cm, $1/8$ cm, ... $2^{-n}$ cm ..., arrivi da qualche parte o finisci col costruire una linea infinitamente lunga?
Ragiona bene prima di rispondere.
P.S.: Quando ho detto di fare un disegno, non intendevo metaforicamente. Fallo veramente, anche se il primo caso ti può sembrare banale. E' importante.
Fatti un disegno: parti da un punto del foglio che chiami $0$ poi traccia con una matita un segmento lungo $1$ cm verso destra. Aggiungi un segmento lungo $1$ cm sempre verso destra, poi un altro e un altro: capisci bene che a patto di fare questa operazione abbastanza volte puoi costruire una linea lunga a volontà.
Adesso prova a disegnare un segmento lungo $1$ cm, poi uno lungo $1/2$ cm, poi uno lungo $1/3$ cm, poi uno lungo $1/4$ cm... Ti chiedo: arrivi da qualche parte, o finisci col costruire ancora una linea infinitamente lunga?
E se invece i segmenti sono lunghi $1/2$ cm, $1/4$ cm, $1/8$ cm, ... $2^{-n}$ cm ..., arrivi da qualche parte o finisci col costruire una linea infinitamente lunga?
Ragiona bene prima di rispondere.
P.S.: Quando ho detto di fare un disegno, non intendevo metaforicamente. Fallo veramente, anche se il primo caso ti può sembrare banale. E' importante.
"Darèios89":
Oggi, facevo degli esercizi con un mio collega, e ho proposto la serie:
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{x^n+3+n!}[/tex] [tex]x\in R[/tex]
Dovendone studiare il carattere, mi ricordo che una volta proponendo una serie simile mi era stato detto, al numeratore hai una certa quantità, al denominatore hai la stessa quantità più qualcosa, quindi sai che la serie sarà sempre minore di una costante cioè 1.
Per questo motivo la serie è convergente.
Ora mi ha fatto venire un dubbio il mio collega, la serie sarà sempre minore di 1, ma chi ci dice che converge? Perchè se è sempre minore di 1 possiamo dire che converge?
Noi quando ad esempio calcoliamo la condizione necessaria alla convergenza se otteniamo 0 come limite sappiamo che "potrebbe" convergere e dobbiamo studiarla, qui sappiamo che la serie sarà sempre minore di 1, ma perchè senza applicare corollari possiamo dire che converge?
Non e' che la serie tende a 1,
sono i singoli termini che tendono a 1
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{x}{x+k} = 1[/tex]
Ma come ti ha detto dissonance, sommare 1 per infinite volte, dara' di sicuro un infinito.
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