Dubbio sulle serie e successioni
Salve a tutti, ho un dubbio per quanto riguarda le serie e le successioni...
Se applico il criterio della radice o del rapporto, ed il limite mi restituisce un valore <1, allora vuol dire che la serie converge e che è infinitesima, altrimenti se è >1 la serie diverge, ma è vero che non è infinitesima?
Se è cosi, quindi devo verificare che è infinitesima o avviene in automatico la cosa con il criterio della radice? Io sapevo questo in base alla dimostrazione del criterio del rapporto che si basa proprio su questo perché se an+1/an è >1 allora la serie è crescente e non può essere infinitesima. Vale lo stesso per il criterio della radice di cauchy?
L'esempio della serie che non riuscivo a dimostrare che era infinitesima è questo:
$ sum_(n = 1) n!(2/n)^n $
Se applico il criterio della radice o del rapporto, ed il limite mi restituisce un valore <1, allora vuol dire che la serie converge e che è infinitesima, altrimenti se è >1 la serie diverge, ma è vero che non è infinitesima?
Se è cosi, quindi devo verificare che è infinitesima o avviene in automatico la cosa con il criterio della radice? Io sapevo questo in base alla dimostrazione del criterio del rapporto che si basa proprio su questo perché se an+1/an è >1 allora la serie è crescente e non può essere infinitesima. Vale lo stesso per il criterio della radice di cauchy?
L'esempio della serie che non riuscivo a dimostrare che era infinitesima è questo:
$ sum_(n = 1) n!(2/n)^n $
Risposte
Vale lo stesso per il criterio della radice di cauchy?
Direi di sì! Che io ricordi, nella dimostrazione per il criterio di Cauchy nel caso di limite della radice maggiore di 1 (chiamiamolo $l>1$, si ha:
$|\root(n)(a_n)-l|<\varepsilon\Rightarrow \root(n)(a_n)>l-\varepsilon$
(perdonami se non ho scritto la definizione di limite per intero, ci serviva solo questa parte).
Essendo $l>1$, possiamo scegliere un $\varepsilon$ abbastanza piccolo affinché $l-\varepsilon$ sia ancora maggiore di 1, perciò:
$\root(n)(a_n)>1\Rightarrow a_n>1$
Dunque, per $n\rightarrow\infty$, si osserva che $a_n>1$, perciò il termine generale della serie non è nemmeno infinitesimo: è proprio grazie a questo dettaglio che si dimostra che la serie non converge!
Riguardo la tua serie, perché dovresti dimostrare che è infinitesima? Mi sembra converga, quindi è certamente infinitesima!
Okok, quindi se vedo una serie di questo tipo applico direttamente il criterio della radice, senza calcolare prima il limite per verificare la condizione necessaria? Pensavo si dovesse fare...
Oh, no, hai certamente ragione: la prima cosa da fare sarebbe assicurarsi che la serie è infinitesima, in caso contrario sicuramente non sarebbe convergente (seppur non vale il contrario); considera però che questi esercizi sono fatti per farti esercitare sulle tipologie di risoluzione di una serie, quindi sono quasi sempre convergenti a qualcosa che devi trovare
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