Dubbio sulle operazioni algebriche binarie interne in C
Ciao a tutti!
Premetto subito che non so se ho scelto la sezione corretta, la mia domanda probabilmente sembrerà banale a molti studenti dell'università (infatti faccio ancora lo scientifico, come ho scritto già in un altro topic
), tuttavia, poiché per esperienza personale ho notato che i numeri complessi sono un argomento che in genere viene completamente tralasciato o spiegato approssimativamente (anche nei licei scientifici) e poiché al contrario, il mio professore (matematico) ha deciso di spiegarli in maniera abbastanza completa (per intenderci è partito con lo spiegarci alcune strutture algebriche fondamentali tipo il magma, il semigruppo, il monoide ecc. ecc. ) ho pensato che anche questa sezione potesse andare bene.
(P.S. perdonatemi ma non ho idea di come si usi il LaTex o altri programmi per la scrittura di formule matematiche; cercherò di scrivere nel modo più chiaro possibile)
Allora partiamo con il problema:
Il mio professore per introdurre i numeri complessi è partito con alcuni cenni di algebra. Dopo aver fatto le strutture algebriche fondamentali e le relative proprietà ha definito la struttura di campo (struttura che su un certo insieme A presenta due operazioni algebriche binarie interne + e * tali che: (A,+) è un gruppo Abeliano e (A-(l'elemento neutro di +),*) è un gruppo Abeliano; inoltre, tra le due operazioni + e * valgono le proprietà distributive.)
Successivamente ha definito il campo dei Reali (con le usuali operazioni + e * dei reali, le relative inverse e i relativi elementi neutri e inversi) e, a partire da quello, ha definito il campo dei numeri complessi C come:
C = ((a,b), a e b numeri reali) (ovvero l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali, in altre parole RxR). Il prof. ha affermato che C è un campo ma non lo ha dimostrato.
Dopo aver fatto questo ha definito le operazioni algebriche binarie interne di C (che ora chiameremo *C e +C) come:
(a,b) +C (c,d) = (a+b, c+d) (dove il simbolo + denota l'usuale addizione reale, infatti a,b,c,d sono numeri reali)
(a,b) *C (c,d) = (a*c - b*d, a*d + b*c) (dove i simboli +, * e - denotano sempre operazioni tra numeri reali)
e poi ha definito anche le operazioni inverse in C (e di conseguenza i relativi elementi neutri e inversi di +C e *C)
Dopo tutto questo ha introdotto (facendo vari passaggi algebrici e definendo l'unità immaginaria i come: i= (0,1) ) la forma algebrica dei numeri complessi (e prima di fare questo ha mostrato, in maniera sintetica, che R e il sottoinsieme di C, S=((a,0), a numero reale), sono due isomorfismi pertanto è lecito identificare il numero complesso (a,0) semplicemente con il numero reale a). Abbiamo quindi:
z= a +C i *C b, a e b numeri reali (ci tengo a sottolineare che, almeno per quanto ho capito, le operazioni qui presenti sono quelle di C e non quelle di R)
e ha affermato che: "quando il numero complesso è scritto in questa forma possiamo trattarlo come un binomio che segue le regole dei reali (quindi + e *), tenendo conto però che i^2=-1 "
Ora qui sorge il mio problema: mi sono reso, ovviamente, conto che, seguendo la strategia del mio professore, tutti i calcoli tornano: per esempio è del tutto equivalente fare il prodotto z *C w (seguendo le regole dei numeri complessi) o fare il prodotto tra la forma algebrica di z e la forma algebrica di w (seguendo le regole dei reali e la regola fondamentale di i ).
La mia domanda è "Perchè questa cosa funziona?" (o se preferite "Chi mi autorizza a trattare delle operazioni (complesse) tra scritture del tipo a +C i *C b (che sono a tutti gli effetti numeri complessi) con le regole dei numeri reali, in aggiunta al fatto che i^2= -1?").
Quello che voglio dire è: questa "regola pratica" per fare i conti in modo rapido funziona, siamo tutti d'accordo, ma è impossibile che i matematici un giorno si siano svegliati e abbiano detto: "Ehy, sapete cosa c'è, le operazioni algebriche binarie interne dei numeri complessi (+C e *C) sono scomode, brutte e complicate da usare quindi trattiamo i numeri complessi come degli strani binomi in cui compare la lettera i e applichiamo le stesse regole dei numeri reali (+ e *) sostituendo alla fine i^2=-1". Ci deve essere per forza una ragione formale che giustifichi questa cosa
.
Mi sono scervellato su questa questione per giorni, ho cercato su internet, su questo sito e persino su vari libri di algebra e analisi dell'università (nei capitoli dedicati ai numeri complessi) ma non riesco a trovare nessuna risposta a questa domanda (o meglio, non trovo nemmeno la domanda. È come se questa questione non venisse proprio posta da nessuno e sto iniziando a pensare di essere stato un pazzo a essermela posta )
Grazie a tutti coloro che hanno avuto la pazienza di leggere questo papiro di roba
(scritto tra l'altro malissimo; per la prossima volta cercherò di imparare ad usare il LaTex)
Premetto subito che non so se ho scelto la sezione corretta, la mia domanda probabilmente sembrerà banale a molti studenti dell'università (infatti faccio ancora lo scientifico, come ho scritto già in un altro topic
), tuttavia, poiché per esperienza personale ho notato che i numeri complessi sono un argomento che in genere viene completamente tralasciato o spiegato approssimativamente (anche nei licei scientifici) e poiché al contrario, il mio professore (matematico) ha deciso di spiegarli in maniera abbastanza completa (per intenderci è partito con lo spiegarci alcune strutture algebriche fondamentali tipo il magma, il semigruppo, il monoide ecc. ecc. ) ho pensato che anche questa sezione potesse andare bene. (P.S. perdonatemi ma non ho idea di come si usi il LaTex o altri programmi per la scrittura di formule matematiche; cercherò di scrivere nel modo più chiaro possibile)
Allora partiamo con il problema:
Il mio professore per introdurre i numeri complessi è partito con alcuni cenni di algebra. Dopo aver fatto le strutture algebriche fondamentali e le relative proprietà ha definito la struttura di campo (struttura che su un certo insieme A presenta due operazioni algebriche binarie interne + e * tali che: (A,+) è un gruppo Abeliano e (A-(l'elemento neutro di +),*) è un gruppo Abeliano; inoltre, tra le due operazioni + e * valgono le proprietà distributive.)
Successivamente ha definito il campo dei Reali (con le usuali operazioni + e * dei reali, le relative inverse e i relativi elementi neutri e inversi) e, a partire da quello, ha definito il campo dei numeri complessi C come:
C = ((a,b), a e b numeri reali) (ovvero l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali, in altre parole RxR). Il prof. ha affermato che C è un campo ma non lo ha dimostrato.
Dopo aver fatto questo ha definito le operazioni algebriche binarie interne di C (che ora chiameremo *C e +C) come:
(a,b) +C (c,d) = (a+b, c+d) (dove il simbolo + denota l'usuale addizione reale, infatti a,b,c,d sono numeri reali)
(a,b) *C (c,d) = (a*c - b*d, a*d + b*c) (dove i simboli +, * e - denotano sempre operazioni tra numeri reali)
e poi ha definito anche le operazioni inverse in C (e di conseguenza i relativi elementi neutri e inversi di +C e *C)
Dopo tutto questo ha introdotto (facendo vari passaggi algebrici e definendo l'unità immaginaria i come: i= (0,1) ) la forma algebrica dei numeri complessi (e prima di fare questo ha mostrato, in maniera sintetica, che R e il sottoinsieme di C, S=((a,0), a numero reale), sono due isomorfismi pertanto è lecito identificare il numero complesso (a,0) semplicemente con il numero reale a). Abbiamo quindi:
z= a +C i *C b, a e b numeri reali (ci tengo a sottolineare che, almeno per quanto ho capito, le operazioni qui presenti sono quelle di C e non quelle di R)
e ha affermato che: "quando il numero complesso è scritto in questa forma possiamo trattarlo come un binomio che segue le regole dei reali (quindi + e *), tenendo conto però che i^2=-1 "
Ora qui sorge il mio problema: mi sono reso, ovviamente, conto che, seguendo la strategia del mio professore, tutti i calcoli tornano: per esempio è del tutto equivalente fare il prodotto z *C w (seguendo le regole dei numeri complessi) o fare il prodotto tra la forma algebrica di z e la forma algebrica di w (seguendo le regole dei reali e la regola fondamentale di i ).
La mia domanda è "Perchè questa cosa funziona?" (o se preferite "Chi mi autorizza a trattare delle operazioni (complesse) tra scritture del tipo a +C i *C b (che sono a tutti gli effetti numeri complessi) con le regole dei numeri reali, in aggiunta al fatto che i^2= -1?").
Quello che voglio dire è: questa "regola pratica" per fare i conti in modo rapido funziona, siamo tutti d'accordo, ma è impossibile che i matematici un giorno si siano svegliati e abbiano detto: "Ehy, sapete cosa c'è, le operazioni algebriche binarie interne dei numeri complessi (+C e *C) sono scomode, brutte e complicate da usare quindi trattiamo i numeri complessi come degli strani binomi in cui compare la lettera i e applichiamo le stesse regole dei numeri reali (+ e *) sostituendo alla fine i^2=-1". Ci deve essere per forza una ragione formale che giustifichi questa cosa
. Mi sono scervellato su questa questione per giorni, ho cercato su internet, su questo sito e persino su vari libri di algebra e analisi dell'università (nei capitoli dedicati ai numeri complessi) ma non riesco a trovare nessuna risposta a questa domanda (o meglio, non trovo nemmeno la domanda. È come se questa questione non venisse proprio posta da nessuno e sto iniziando a pensare di essere stato un pazzo a essermela posta
)Grazie a tutti coloro che hanno avuto la pazienza di leggere questo papiro di roba
(scritto tra l'altro malissimo; per la prossima volta cercherò di imparare ad usare il LaTex)
Risposte
Risposta banale: perché i complessi sono stati costruiti apposta così
Credo che ciò che cerchi sia questo (con $\star$ e $+$ indico il prodotto e la somma nei complessi - andrebbe fatto un calcolo analogo per la somma):
$(a+ib)\star(c+i d)=((a,0)+(b,0)\star(0,1))\star((c,0)+(d,0)\star(0,1))=$
$(a,0)\star(c,0)+(a,0)\star(d,0)\star(0,1)+(b,0)\star(0,1)\star(c,0)+(b,0)\star(0,1)\star(d,0)\star(0,1)=$
$(ac,0)\star(0,1)+(ad,0)\star(0,1)+(bc,0)\star(0,1)+(bd,0)\star(-1,0)=(ac-bd)+(bc+ad)i$
che si ricava dalle proprietà distributiva e commutativa, e da $(a,0)\star(c,0)=(ac,0)$, $(0,1)\star(0,1)=(-1,0)$.
Comunque non sei pazzo ( o se lo sei non sei solo
).
$(a+ib)\star(c+i d)=((a,0)+(b,0)\star(0,1))\star((c,0)+(d,0)\star(0,1))=$
$(a,0)\star(c,0)+(a,0)\star(d,0)\star(0,1)+(b,0)\star(0,1)\star(c,0)+(b,0)\star(0,1)\star(d,0)\star(0,1)=$
$(ac,0)\star(0,1)+(ad,0)\star(0,1)+(bc,0)\star(0,1)+(bd,0)\star(-1,0)=(ac-bd)+(bc+ad)i$
che si ricava dalle proprietà distributiva e commutativa, e da $(a,0)\star(c,0)=(ac,0)$, $(0,1)\star(0,1)=(-1,0)$.
Comunque non sei pazzo ( o se lo sei non sei solo
).
"teodella23":
La mia domanda è "Perchè questa cosa funziona?" (o se preferite "Chi mi autorizza a trattare delle operazioni (complesse) tra scritture del tipo a +C i *C b (che sono a tutti gli effetti numeri complessi) con le regole dei numeri reali, in aggiunta al fatto che i^2= -1?").
In tutto questo io non ho capito se ti e' chiaro una cosa fondamentale sui numeri complessi, cioe' che $i = \sqrt(-1)$ ?
Ovvero la lettera $i$ e' solo un modo breve per scrivere $\sqrt(-1)$
Di scrivere una delle due radici quadrate di -1.
Con le notazioni del docente dovrebbe essere semplice verificare che:
(*) $(0,1)\cdot_CC (0,1) = (-1,0) = - (1,0)$
che, introducendo la notazione $i := (0,1)$ e $1 := (1,0)$, si legge $i^2 = -1$.
Per leggere qualcosa di più dettagliato, puoi vedere questi (miei) appuntini (l'uguaglianza (*) è nella Proposizione 2 a pag. 3 del pdf).
Il fatto poi che valgano le regole del calcolo letterale viene "gratis" dalle proprietà delle operazioni in $CC$ (cioè dalla struttura di campo) che sono analoghe alle proprietà delle operazioni degli insiemi numerici usuali (da $NN$ a $RR$) e che sono la base del Calcolo Letterale (il quale non è niente più della versione "astratta" delle usuali regole di calcolo).
(*) $(0,1)\cdot_CC (0,1) = (-1,0) = - (1,0)$
che, introducendo la notazione $i := (0,1)$ e $1 := (1,0)$, si legge $i^2 = -1$.
Per leggere qualcosa di più dettagliato, puoi vedere questi (miei) appuntini (l'uguaglianza (*) è nella Proposizione 2 a pag. 3 del pdf).
Il fatto poi che valgano le regole del calcolo letterale viene "gratis" dalle proprietà delle operazioni in $CC$ (cioè dalla struttura di campo) che sono analoghe alle proprietà delle operazioni degli insiemi numerici usuali (da $NN$ a $RR$) e che sono la base del Calcolo Letterale (il quale non è niente più della versione "astratta" delle usuali regole di calcolo).
Facciamola ancora più formale. Si può definire una moltiplicazione $a\cdot z$ dove $a\in\mathbb{R}$ e $z\in\mathbb{C}$, ponendo:
$a\cdot z:=(a,0)\star z$
(con $\star$ indico il prodotto complesso). Si dimostra che:
(1) $(a_1+a_2)\cdot z=a_1\cdot z+a_2\cdot z$;
(2) $a\cdot(z_1+z_2)=a\cdot z_1+b\cdot z_2$;
(3) $a\cdot (z_1\star z_2)=(a\cdot z_1)\star z_2=(a\cdot z_2)\star z_1$.
(per la verità avrei dovuto distiguere il $+$ nei reali e il $+$ nei complessi, ma credo si capisca dove si tratta dell'uno e dove dell'altro). Se pongo $\mathbf{1}:=(1,0)$ e $i:=(0,1)$ noto che $\mathbf{1}\star\mathbf{1}=\mathbf{1}$, $\mathbf{1}\star i=i$,$i\star i=-\mathbf{1}=(-1)\cdot\mathbf{1}$.
Posso allora scrivere il generico numero complesso $z=(a,b)$ come $a\cdot\mathbf{1}+b\cdot i$ che abbrevio con $a+ib$. Le proprietà (1) (2) (3), unite ai "prodotti notevoli" tra $\mathbf{1}$ e $i$ sono il motivo per cui "tutto funziona" (come si chiede teodella 23).
EDIT stavo rispondendo in contemporanea a Gugo82, che dice le stesse cose.
$a\cdot z:=(a,0)\star z$
(con $\star$ indico il prodotto complesso). Si dimostra che:
(1) $(a_1+a_2)\cdot z=a_1\cdot z+a_2\cdot z$;
(2) $a\cdot(z_1+z_2)=a\cdot z_1+b\cdot z_2$;
(3) $a\cdot (z_1\star z_2)=(a\cdot z_1)\star z_2=(a\cdot z_2)\star z_1$.
(per la verità avrei dovuto distiguere il $+$ nei reali e il $+$ nei complessi, ma credo si capisca dove si tratta dell'uno e dove dell'altro). Se pongo $\mathbf{1}:=(1,0)$ e $i:=(0,1)$ noto che $\mathbf{1}\star\mathbf{1}=\mathbf{1}$, $\mathbf{1}\star i=i$,$i\star i=-\mathbf{1}=(-1)\cdot\mathbf{1}$.
Posso allora scrivere il generico numero complesso $z=(a,b)$ come $a\cdot\mathbf{1}+b\cdot i$ che abbrevio con $a+ib$. Le proprietà (1) (2) (3), unite ai "prodotti notevoli" tra $\mathbf{1}$ e $i$ sono il motivo per cui "tutto funziona" (come si chiede teodella 23).
EDIT stavo rispondendo in contemporanea a Gugo82, che dice le stesse cose.
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