Dubbio sulle equazioni differenziali

[gianni971]

Buonasera a tutti, chiedo gentilmente aiuto per un dubbio sulla risoluzione delle equazioni differenziali.

Nel programma svolto a lezione abbiamo affrontato solamente la risoluzione delle equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili.

Mi è stata assegnata la seguente equazione:

\(y'=\frac{y\left(\ln y-\ln x\right)}{x}\)

Non riesco a ricondurmi alla forma normale di nessuno dei due tipi di equazioni sopracitati e, di conseguenza, non riesco ad applicare le formule e i procedimenti utili alla risoluzione.

La domanda quindi è: esiste un modo per ricondursi a tali forme o magari un procedimento alternativo diretto alla risoluzione dell'equazione?

Vi ringrazio in anticipo.

[pilloeffe]

Ciao gianni97,

L'equazione differenziale ordinaria proposta è del primo ordine non lineare.
La prima cosa che mi viene in mente guardandola è porre $ t(x) := frac{y(x)}{x} \implies y(x) = x t(x) \implies y' = t + x t' $...

[gianni971]

Quindi rientra in una categoria di equazioni differenziali che a lezione non abbiamo ancora visto. La ringrazio.

[pilloeffe]

"gianni97":La ringrazio.

Prego, ma non darmi del lei che sul forum non si usa e poi mi fai sentire più vecchio di quello che sono (anche se, se il numero del tuo nickname si riferisce al tuo anno di nascita, mi sono laureato quando sei nato... )

Visto che mi interessa e adesso ho un po' di tempo, vado avanti dal mio stesso suggerimento:

$y' = frac{y(ln y-ln x)}{x} = frac{y}{x} ln(frac{y}{x}) $

Posto $t(x) := frac{y(x)}{x} \implies y(x) = x t(x) \implies y' = t + x t' $, si ha:

$ t + x t' = t ln t \implies xt' = t(ln t - 1) \implies frac{dt}{t(ln t - 1)} = frac{dx}{x} $

Integrando si ha:

$int frac{dt}{t(ln t - 1)} = int frac{dx}{x} = ln x $

Quindi occorre risolvere l'integrale seguente:

$ int frac{dt}{t(ln t - 1)} $

Posto $u := ln t \implies du = frac{dt}{t} $, si ha:

$ int frac{dt}{t(ln t - 1)} = int frac{du}{u - 1} = ln(u - 1) + k = ln(ln t - 1) + k = ln(ln t - 1) + ln e^k = $
$ = ln[e^k (ln t - 1)] = ln[c_1 \cdot (ln t - 1)] $

ove si è posto $ c_1 := e^k $. Perciò si ha:

$ ln[c_1 \cdot (ln t - 1)] = ln x \implies c_1 \cdot (ln t - 1) = x \implies ln t - 1 = frac{x}{c_1} \implies ln t = frac{x}{c_1} + 1 \implies t = e^{frac{x}{c_1} + 1} $

Posto infine $c := 1/c_1 $, si trova $t = t(x) = e^{cx + 1} $ ed in definitiva si ha:

$y(x) = x t(x) = x e^{cx + 1} $