Dubbio sulle derivate nel senso delle distribuzioni
Ciao a tutti...avrei un dubbio riguardo le derivate svolte nel senso delle distribuzioni: se io volessi fare la derivata seconda di questa funzione ( ${ ( e^(-t+2)(t>=1) ),( 1(t<1)):}$ ) come dovrei procedere?
Devo considerare prima la derivata in senso classico per poi derivarla nel campo delle distribuzioni (usando "il metodo dei salti" ,in questo caso nel punto 1, solo di X'(t) ) oppure operare esclusivamente in quest'ultimo (il risultato differisce di $(e-1)*delta'(t-1)$) utilizzando i canonici metodi di derivazione?
Scusatemi per la mia imprecisione nel porvi la domanda...spero si capisca.
Vi ringrazio anticipatamente
Devo considerare prima la derivata in senso classico per poi derivarla nel campo delle distribuzioni (usando "il metodo dei salti" ,in questo caso nel punto 1, solo di X'(t) ) oppure operare esclusivamente in quest'ultimo (il risultato differisce di $(e-1)*delta'(t-1)$) utilizzando i canonici metodi di derivazione?
Scusatemi per la mia imprecisione nel porvi la domanda...spero si capisca.
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Innanzitutto ti faccio notare che la funzione che hai scritto si può scrivere come
\[ f(t) = (e^{-t+2}-1) \operatorname{sca}(t-1)+1 \]
A questo punto, basta ricordare che nel senso delle distribuzioni vale l'usuale regola della derivata del prodotto.
\[ f(t) = (e^{-t+2}-1) \operatorname{sca}(t-1)+1 \]
A questo punto, basta ricordare che nel senso delle distribuzioni vale l'usuale regola della derivata del prodotto.
Innanzitutto grazie Riccardo per la risposta 
...il mio dubbio piu che altro era nell' utilizzo di un metodo piuttosto che quello usuale, applicabile anche per le distribuzioni: il professore infatti ha detto che sotto le ipotesi di regolarità a tratti, la funzione può essere derivata in senso classico con l aggiunta di $sum_(n=0)^p Cndelta(t-tn)$ , dove le tn sono p punti di discontinuita di primo tipo ( gli unici ammissibili per le ipotesi fatte ) e $Cn=lim_(t -> tn+)x(t) - lim_(t -> tn-)x(t)$.
Se applicassi questo metodo per la derivata prima, posso applicarlo anche per la seconda nonostante sia necessario operare con una funzione, mentre invece abbiamo una discribuzione?
Oppure faccio la derivata prima in senso classico e poi applico questo teorema per la seconda?
Ovviamente il risultato cambia rispetto alla derivazione canonica...pero ho sempre un uguaglianza nel senso delle distribuzioni...quindi cos'è che non sto capendo? xD
...il mio dubbio piu che altro era nell' utilizzo di un metodo piuttosto che quello usuale, applicabile anche per le distribuzioni: il professore infatti ha detto che sotto le ipotesi di regolarità a tratti, la funzione può essere derivata in senso classico con l aggiunta di $sum_(n=0)^p Cndelta(t-tn)$ , dove le tn sono p punti di discontinuita di primo tipo ( gli unici ammissibili per le ipotesi fatte ) e $Cn=lim_(t -> tn+)x(t) - lim_(t -> tn-)x(t)$.Se applicassi questo metodo per la derivata prima, posso applicarlo anche per la seconda nonostante sia necessario operare con una funzione, mentre invece abbiamo una discribuzione?
Oppure faccio la derivata prima in senso classico e poi applico questo teorema per la seconda?
Ovviamente il risultato cambia rispetto alla derivazione canonica...pero ho sempre un uguaglianza nel senso delle distribuzioni...quindi cos'è che non sto capendo? xD
Se vuoi utilizzare quel teorema, la situazione è
\[ f'(t) = -e^{-t+2} \operatorname{sca}(t-1) + (e-1) \delta(t-1) \]
Quindi no, per la derivata seconda devi cambiare metodo, perché non puoi fare una derivata in senso classico.
\[ f'(t) = -e^{-t+2} \operatorname{sca}(t-1) + (e-1) \delta(t-1) \]
Quindi no, per la derivata seconda devi cambiare metodo, perché non puoi fare una derivata in senso classico.
Probabilmente, tutto risulta più facile se disegni la funzione e la derivata.
Il grafico della tua \(f\), che è una funzione in \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\), è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("exp(2-x)",1,6); dot([0,7.389]); plot("1",-6,1);[/asvg]
ed essa è addirittura di classe \(C^\infty\) in \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\).
Per noti fatti di teoria (che, se non ricordi, è meglio che vai a riguardare
) la derivata distribuzionale di \(f\) coincide con la derivata classica in \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\), mentre, lì dove la tua funzione presenta dei salti (cioé in \(1\)), la derivata distribuzionale presenta una delta di Dirac di ampiezza pari al salto di discontinuità: pertanto, la derivata distribuzionale è uguale a \(-e^{-t+2}\) per \(t>1\), è uguale a \(0\) per \(t<1\) ed in \(1\) (ove la derivata classica non è definita!) presenta un impulso di ampiezza \(\lim_{t\to 1^+} f(t) - \lim_{x\to 1^-} f(t) = e -1\approx 1.718\).
Graficamente, qundi, la derivata distribuzionale è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="orange"; strokewidth=2; plot("-exp(2-x)",1,6); plot("0",-6,1);
marker="arrow"; line([1,0],[1,1.718]);[/asvg]
Il grafico della tua \(f\), che è una funzione in \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\), è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("exp(2-x)",1,6); dot([0,7.389]); plot("1",-6,1);[/asvg]
ed essa è addirittura di classe \(C^\infty\) in \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\).
Per noti fatti di teoria (che, se non ricordi, è meglio che vai a riguardare
) la derivata distribuzionale di \(f\) coincide con la derivata classica in \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\), mentre, lì dove la tua funzione presenta dei salti (cioé in \(1\)), la derivata distribuzionale presenta una delta di Dirac di ampiezza pari al salto di discontinuità: pertanto, la derivata distribuzionale è uguale a \(-e^{-t+2}\) per \(t>1\), è uguale a \(0\) per \(t<1\) ed in \(1\) (ove la derivata classica non è definita!) presenta un impulso di ampiezza \(\lim_{t\to 1^+} f(t) - \lim_{x\to 1^-} f(t) = e -1\approx 1.718\).Graficamente, qundi, la derivata distribuzionale è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="orange"; strokewidth=2; plot("-exp(2-x)",1,6); plot("0",-6,1);
marker="arrow"; line([1,0],[1,1.718]);[/asvg]
Mi potrresti fare la derivata seconda di questa funzione? Giusto per fissare le idee
Abbiamo visto che:
\[
f^\prime (t) = (e-1)\ \delta (t-1) - e^{2-t}\ \operatorname{u}(t-1)\; ,
\]
e graficamente:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="orange"; strokewidth=2; plot("-exp(2-x)",1,6); plot("0",-6,1);
marker="arrow"; line([1,0],[1,1.718]);[/asvg]
Ora, tanendo presente il teorema sulla derivata del prodotto e la proprietà di campionamento della delta, la derivata seconda è data da:
\[
\begin{split}
f^{\prime \prime} (t) &= (e-1)\ \delta^\prime (t-1) - e^{2-1}\ \delta (t-1) + e^{2-t}\ \operatorname{u}(t-1)\\
&=(e-1)\ \delta^\prime (t-1) - e\ \delta (t-1) + e^{2-t}\ \operatorname{u}(t-1)
\end{split}
\]
che graficamente è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="green"; strokewidth=2; plot("exp(2-x)",1,6); plot("0",-6,1);
marker="arrow"; line([1,0],[1,-2.718]);
stroke="lime"; line([1,0],[1,1.718]);[/asvg]
(la freccia più chiara rappresenta l'impulso \((e-1) \delta^\prime (t-1)\)).
\[
f^\prime (t) = (e-1)\ \delta (t-1) - e^{2-t}\ \operatorname{u}(t-1)\; ,
\]
e graficamente:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="orange"; strokewidth=2; plot("-exp(2-x)",1,6); plot("0",-6,1);
marker="arrow"; line([1,0],[1,1.718]);[/asvg]
Ora, tanendo presente il teorema sulla derivata del prodotto e la proprietà di campionamento della delta, la derivata seconda è data da:
\[
\begin{split}
f^{\prime \prime} (t) &= (e-1)\ \delta^\prime (t-1) - e^{2-1}\ \delta (t-1) + e^{2-t}\ \operatorname{u}(t-1)\\
&=(e-1)\ \delta^\prime (t-1) - e\ \delta (t-1) + e^{2-t}\ \operatorname{u}(t-1)
\end{split}
\]
che graficamente è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="green"; strokewidth=2; plot("exp(2-x)",1,6); plot("0",-6,1);
marker="arrow"; line([1,0],[1,-2.718]);
stroke="lime"; line([1,0],[1,1.718]);[/asvg]
(la freccia più chiara rappresenta l'impulso \((e-1) \delta^\prime (t-1)\)).
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