Dubbio sulle curve
Salve a tutti!
Questa mattina stavo facendo degli esercizi sulle curve, e nel risolverne uno mi è venuto un dubbio.
Il testo diceva:
data la curva di equazione polare $ ρ=θ^2 $, si chiede:
a) nel caso θ appartenga all'intervallo [0,2π],di provare che è regolare,e calcolarne la lunghezza.
b) nel caso θ appartenga all'intervallo [-2π,2π], di stabilire se è regolare e chiusa.
c) dopo aver scritto la rappresentazione parametrica della curva di R3 di equazione ρ=θ^2, z=sin^2θ, con θ appartentente all'intervallo [-2π,2π], di stabilire se è regolare.
Ora, nel risolvere il primo punto, ottengo che il vettore tangente è pari a:
$ θ^2(θ^2 + 4)^1/2 $, che è uguale a zero per θ uguale a zero. A questo punto sarei tentata di dire che la curva NON e' regolare, mentre nelle soluzioni c'è scritto che lo è ( non a caso il testo mi dice di PROVARE che è regolare, il che presuppone che lo sia ). Potreste farmi capire perchè?
Andando a svolgere il punto C, nuovamente il vettore tangente si annulla per θ=0, ma questa volta anche il testo dice che la curva NON è regolare: perchè in questo caso allora la riteniamo non regolare?
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge , dal momento che ciò che varia tra il punto c e il punto a è essenzialmente l'intervallo in cui la curva è definita.
Un ulteriore dubbio è il seguente: come faccio nel punto b a dimostrare che non è semplice? ( in termini di calcolo intendo)
Grazie infinite in anticipo, vorrei cercare di avere una panoramica un pò più precisa sicuramente c'è qualche importante richiamo teorico che mi sfugge!
Questa mattina stavo facendo degli esercizi sulle curve, e nel risolverne uno mi è venuto un dubbio.
Il testo diceva:
data la curva di equazione polare $ ρ=θ^2 $, si chiede:
a) nel caso θ appartenga all'intervallo [0,2π],di provare che è regolare,e calcolarne la lunghezza.
b) nel caso θ appartenga all'intervallo [-2π,2π], di stabilire se è regolare e chiusa.
c) dopo aver scritto la rappresentazione parametrica della curva di R3 di equazione ρ=θ^2, z=sin^2θ, con θ appartentente all'intervallo [-2π,2π], di stabilire se è regolare.
Ora, nel risolvere il primo punto, ottengo che il vettore tangente è pari a:
$ θ^2(θ^2 + 4)^1/2 $, che è uguale a zero per θ uguale a zero. A questo punto sarei tentata di dire che la curva NON e' regolare, mentre nelle soluzioni c'è scritto che lo è ( non a caso il testo mi dice di PROVARE che è regolare, il che presuppone che lo sia ). Potreste farmi capire perchè?
Andando a svolgere il punto C, nuovamente il vettore tangente si annulla per θ=0, ma questa volta anche il testo dice che la curva NON è regolare: perchè in questo caso allora la riteniamo non regolare?
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge , dal momento che ciò che varia tra il punto c e il punto a è essenzialmente l'intervallo in cui la curva è definita.
Un ulteriore dubbio è il seguente: come faccio nel punto b a dimostrare che non è semplice? ( in termini di calcolo intendo)
Grazie infinite in anticipo, vorrei cercare di avere una panoramica un pò più precisa
sicuramente c'è qualche importante richiamo teorico che mi sfugge!
Risposte
Immagino che tu abbia sbagliato a digitare il valore del modulo del vettore tangente, che è \( |\tau(\theta)| = \big ( \theta^2 (4 + \theta^2) \big )^{\frac{1}{2}} \).
In ogni caso, il succo non cambia, e la risposta alla tua domanda è molto semplice: una curva parametrizzata \( \gamma \colon [a,b] \to \mathbb{R}^n \) dicesi regolare allorché \( \gamma \in C^{1}((a,b); \mathbb{R}^n) \) e \( \dot{\gamma}(t) \neq 0 \) per ogni \( t \in (a,b) \). Quindi la condizione di vettor tangente non degenere deve essere verificata solo nei punti interni all'intervallo di definizione, non agli estremi. Nel primo caso il punto critico \( t = 0 \) è un estremo, mentre nel secondo caso è interno: ergo, la prima curva è regolare, la seconda no.
Per quanto concerne il tuo secondo quesito... quanto valgono \( \gamma(-\pi) \) e \( \gamma(\pi) \)?
In ogni caso, il succo non cambia, e la risposta alla tua domanda è molto semplice: una curva parametrizzata \( \gamma \colon [a,b] \to \mathbb{R}^n \) dicesi regolare allorché \( \gamma \in C^{1}((a,b); \mathbb{R}^n) \) e \( \dot{\gamma}(t) \neq 0 \) per ogni \( t \in (a,b) \). Quindi la condizione di vettor tangente non degenere deve essere verificata solo nei punti interni all'intervallo di definizione, non agli estremi. Nel primo caso il punto critico \( t = 0 \) è un estremo, mentre nel secondo caso è interno: ergo, la prima curva è regolare, la seconda no.
Per quanto concerne il tuo secondo quesito... quanto valgono \( \gamma(-\pi) \) e \( \gamma(\pi) \)?
Ecco svelato il mistero: immaginavo centrassero gli estremi, ma non riuscivo a trovarne la conferma sul libro! Grazie mille, ora mi è tutto più chiaro! 
riguardo la secondo quesito ragionandoci meglio ero arrivata alla tua stessa conclusione! Grazie ancora!
riguardo la secondo quesito ragionandoci meglio ero arrivata alla tua stessa conclusione! Grazie ancora!
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