Dubbio sulle curve

mariol22
Salve a tutti!
Questa mattina stavo facendo degli esercizi sulle curve, e nel risolverne uno mi è venuto un dubbio.
Il testo diceva:
data la curva di equazione polare $ ρ=θ^2 $, si chiede:
a) nel caso θ appartenga all'intervallo [0,2π],di provare che è regolare,e calcolarne la lunghezza.
b) nel caso θ appartenga all'intervallo [-2π,2π], di stabilire se è regolare e chiusa.
c) dopo aver scritto la rappresentazione parametrica della curva di R3 di equazione ρ=θ^2, z=sin^2θ, con θ appartentente all'intervallo [-2π,2π], di stabilire se è regolare.

Ora, nel risolvere il primo punto, ottengo che il vettore tangente è pari a:
$ θ^2(θ^2 + 4)^1/2 $, che è uguale a zero per θ uguale a zero. A questo punto sarei tentata di dire che la curva NON e' regolare, mentre nelle soluzioni c'è scritto che lo è ( non a caso il testo mi dice di PROVARE che è regolare, il che presuppone che lo sia ). Potreste farmi capire perchè? :(
Andando a svolgere il punto C, nuovamente il vettore tangente si annulla per θ=0, ma questa volta anche il testo dice che la curva NON è regolare: perchè in questo caso allora la riteniamo non regolare?
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge , dal momento che ciò che varia tra il punto c e il punto a è essenzialmente l'intervallo in cui la curva è definita.

Un ulteriore dubbio è il seguente: come faccio nel punto b a dimostrare che non è semplice? ( in termini di calcolo intendo)
Grazie infinite in anticipo, vorrei cercare di avere una panoramica un pò più precisa :( sicuramente c'è qualche importante richiamo teorico che mi sfugge!

Risposte
s.stuv
Immagino che tu abbia sbagliato a digitare il valore del modulo del vettore tangente, che è \( |\tau(\theta)| = \big ( \theta^2 (4 + \theta^2) \big )^{\frac{1}{2}} \).

In ogni caso, il succo non cambia, e la risposta alla tua domanda è molto semplice: una curva parametrizzata \( \gamma \colon [a,b] \to \mathbb{R}^n \) dicesi regolare allorché \( \gamma \in C^{1}((a,b); \mathbb{R}^n) \) e \( \dot{\gamma}(t) \neq 0 \) per ogni \( t \in (a,b) \). Quindi la condizione di vettor tangente non degenere deve essere verificata solo nei punti interni all'intervallo di definizione, non agli estremi. Nel primo caso il punto critico \( t = 0 \) è un estremo, mentre nel secondo caso è interno: ergo, la prima curva è regolare, la seconda no.
Per quanto concerne il tuo secondo quesito... quanto valgono \( \gamma(-\pi) \) e \( \gamma(\pi) \)?

mariol22
Ecco svelato il mistero: immaginavo centrassero gli estremi, ma non riuscivo a trovarne la conferma sul libro! Grazie mille, ora mi è tutto più chiaro! :) riguardo la secondo quesito ragionandoci meglio ero arrivata alla tua stessa conclusione! Grazie ancora!

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