Dubbio sull'applicabilità ripetuta di De L'Hopital nello svolgimento di limiti
Buongiorno a tutti,
spero di seguire nel modo corretto le linee guida (è la prima volta che posto).
Il mio dubbio riguarda una delle condizioni di applicabilità del teorema di De L'Hopital, e più precisamente quella relativa alla derivata della funzione al denominatore:
è possibile applicare più di una volta il teorema se in una delle applicazioni "intermedie" la condizione di derivata non nulla nell'intervallo della funzione al denominatore non è rispettata?
Mi spiego meglio con un esempio: considerando il limite
[tex]\lim_{x\to \pi}{\frac{(x-\pi)^2}{2*cos^2(x)+cos(x)-1}} = \frac{-2}{3}[/tex]
ho provato a svolgerlo con De L'Hopital ma nel farlo mi sono accorto che la derivata del denominatore è:
[tex]-4*cos(x)*sen(x)-sen(x)[/tex]
che chiaramente per [tex]x = \pi[/tex] è nulla.
Quindi ho lasciato perdere e ho tentato con altri metodi, ma poi, giusto per provare, ho riapplicato De L'Hospital una seconda volta. Dopo la prima applicazione il limite diventa:
[tex]\lim_{x\to \pi}{\frac{2*(x-\pi)}{-4*cos(x)*sen(x)-sen(x)}}[/tex]
e dopo la seconda:
[tex]\lim_{x\to \pi}{\frac{2}{-4*(-sen^2(x)+cos^2(x))-cos(x)}}[/tex]
dopo averlo applicato la seconda volta noto che il denominatore non si annulla per [tex]x = \pi[/tex] e che quindi la seconda applicazione sarebbe lecita se il limite iniziale fosse quello "intermedio".
Inoltre, terminando i calcoli:
[tex]\lim_{x\to \pi}{\frac{2}{-4*(-sen^2(x)+cos^2(x))-cos(x)}} = \frac{2}{-4*(-sen^2(\pi)+cos^2(\pi)) - cos(\pi)} =[/tex]
[tex]= \frac{2}{-4+1} = \frac{-2}{3}[/tex]
che è il risultato giusto.
Quindi, la domanda è: se applico De L'Hospital quando la condizione di derivata prima del denominatore non è rispettata ma poi NON calcolo il limite direttamente, e successivamente uso di nuovo De L'Hospital o altre tecniche (limiti notevoli, taylor...), commetto un errore?
Grazie in anticipo a chi risponde!
spero di seguire nel modo corretto le linee guida (è la prima volta che posto).
Il mio dubbio riguarda una delle condizioni di applicabilità del teorema di De L'Hopital, e più precisamente quella relativa alla derivata della funzione al denominatore:
è possibile applicare più di una volta il teorema se in una delle applicazioni "intermedie" la condizione di derivata non nulla nell'intervallo della funzione al denominatore non è rispettata?
Mi spiego meglio con un esempio: considerando il limite
[tex]\lim_{x\to \pi}{\frac{(x-\pi)^2}{2*cos^2(x)+cos(x)-1}} = \frac{-2}{3}[/tex]
ho provato a svolgerlo con De L'Hopital ma nel farlo mi sono accorto che la derivata del denominatore è:
[tex]-4*cos(x)*sen(x)-sen(x)[/tex]
che chiaramente per [tex]x = \pi[/tex] è nulla.
Quindi ho lasciato perdere e ho tentato con altri metodi, ma poi, giusto per provare, ho riapplicato De L'Hospital una seconda volta. Dopo la prima applicazione il limite diventa:
[tex]\lim_{x\to \pi}{\frac{2*(x-\pi)}{-4*cos(x)*sen(x)-sen(x)}}[/tex]
e dopo la seconda:
[tex]\lim_{x\to \pi}{\frac{2}{-4*(-sen^2(x)+cos^2(x))-cos(x)}}[/tex]
dopo averlo applicato la seconda volta noto che il denominatore non si annulla per [tex]x = \pi[/tex] e che quindi la seconda applicazione sarebbe lecita se il limite iniziale fosse quello "intermedio".
Inoltre, terminando i calcoli:
[tex]\lim_{x\to \pi}{\frac{2}{-4*(-sen^2(x)+cos^2(x))-cos(x)}} = \frac{2}{-4*(-sen^2(\pi)+cos^2(\pi)) - cos(\pi)} =[/tex]
[tex]= \frac{2}{-4+1} = \frac{-2}{3}[/tex]
che è il risultato giusto.
Quindi, la domanda è: se applico De L'Hospital quando la condizione di derivata prima del denominatore non è rispettata ma poi NON calcolo il limite direttamente, e successivamente uso di nuovo De L'Hospital o altre tecniche (limiti notevoli, taylor...), commetto un errore?
Grazie in anticipo a chi risponde!
Risposte
1. ricontrolla il testo, penso che tu abbia sbagliato un segno, perché quello scritto non è una forma indeterminata.
2. la condizione di applicabilità del teorema di De l'Hopital parla di derivata non nulla $AA x in I(x_0)$ escluso al più il punto $x_0$, dove $I(x_0)$ è un intorno appunto di $x_0$.
2. la condizione di applicabilità del teorema di De l'Hopital parla di derivata non nulla $AA x in I(x_0)$ escluso al più il punto $x_0$, dove $I(x_0)$ è un intorno appunto di $x_0$.
Ciao melia, grazie per l'aiuto.
Si, ho scritto male il limite (lo correggo subito), è una forma indeterminata del tipo [0/0].
Ho capito l'errore, pensavo che la derivata dovesse essere non nulla anche nel punto in questione.
Si, ho scritto male il limite (lo correggo subito), è una forma indeterminata del tipo [0/0].
Ho capito l'errore, pensavo che la derivata dovesse essere non nulla anche nel punto in questione.
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