Dubbio sulla teoria limitatezza
Salve ragazzi sto studiando Analisi II. Sto affrontano la limitatezza e avrei un dubbio sulla seguente:
AFFERMAZIONE NON CAPITA
$f:A->R$ $A sub RR^m$
$f(x)$ si dice limitata inferiormente se è tale $f(A) sube RR$
AFFERMAZIONE CAPITA
limitata inferioremente se $EE l in RR: l<=f(x) AA x in A$
AFFERMAZIONE NON CAPITA
inf $f(x)=$inf$ {f(x),x in A}=$inf$ (A)$
Bene, so cosa vuole dire limitata, estremante inferiore ecc... non capisco che legame c'è tra f(x) e f(A). Si parla di due cose diverse o cosa?
Potreste spiegarmi meglio?
Grazie a chiunque voglia aiutarmi
AFFERMAZIONE NON CAPITA
$f:A->R$ $A sub RR^m$
$f(x)$ si dice limitata inferiormente se è tale $f(A) sube RR$
AFFERMAZIONE CAPITA
limitata inferioremente se $EE l in RR: l<=f(x) AA x in A$
AFFERMAZIONE NON CAPITA
inf $f(x)=$inf$ {f(x),x in A}=$inf$ (A)$
Bene, so cosa vuole dire limitata, estremante inferiore ecc... non capisco che legame c'è tra f(x) e f(A). Si parla di due cose diverse o cosa?
Potreste spiegarmi meglio?
Grazie a chiunque voglia aiutarmi
Risposte
Nessuno prova ad aiutarmi.. 
[mod="Fioravante Patrone"]Lamentazione ingiustificata e in violazione del regolamento.
Chiudo per tre giorni.[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]Sbloccato dopo scambio di opinioni in PM e applicando il principio "in dubio pro reo".[/mod]
Chiudo per tre giorni.[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]Sbloccato dopo scambio di opinioni in PM e applicando il principio "in dubio pro reo".[/mod]
Allora, anzitutto grazie per la risposta 
!!!
Premetto poi che possibilmente sto per fare una figuraccia perchè ho appena iniziato a studiare queta materia e ho le idee abbastanza confuse.
Vediamo se sto dicendo fandonie:
$f(x,y):RR^4->RR^2$ potrebbe essere $(sqrt(x-y),x+y,sin(x*y),log(x+y))$
Ove $RR^4$ è l'insieme di definzione delle quattro funzioni, $RR^2$ è l'insieme di arrivo della funzione che comprende le quatro funzioni?
Con quanto detto sopra si sta dicendo che inf di $sqrt(x-y)$ è uguale all'inf di $(sqrt(x-y),x+y,sin(x*y),log(x+y))$?
No vero?
!!!Premetto poi che possibilmente sto per fare una figuraccia perchè ho appena iniziato a studiare queta materia e ho le idee abbastanza confuse.
Vediamo se sto dicendo fandonie:
$f(x,y):RR^4->RR^2$ potrebbe essere $(sqrt(x-y),x+y,sin(x*y),log(x+y))$
Ove $RR^4$ è l'insieme di definzione delle quattro funzioni, $RR^2$ è l'insieme di arrivo della funzione che comprende le quatro funzioni?
Con quanto detto sopra si sta dicendo che inf di $sqrt(x-y)$ è uguale all'inf di $(sqrt(x-y),x+y,sin(x*y),log(x+y))$?
No vero?
Quella che hai descritto è una funzione da $RR^2$ in $RR^4$.
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Vorrei tornare sulla domanda iniziale, perché merita forse dire alcune cose "ovvie" ma che non sono patrimonio diffuso.
Alcuni concetti relativi a funzioni reali di una o più variabili reale si possono esprimere (volendo) mediante proprietà richieste all'immagine della funzione.
Sia $f : A \to RR$, con $A \subseteq RR^n$.
Diremo che:
- $f$ è limitata se $f(A)$ è un sottoinsieme limitato di $RR$
- $f$ ha minimo (assoluto) se $f(A)$ ha minimo (e il minimo di $f$ non è altri che il minimo di $f(A)$)
- l'inf di $f$ si definisce come inf di $f(A)$
etc.
Altre proprietà NON sono esprimibili guardando solo l'immagine.
Per esempio, non si può definire in questo modo il fatto che un punto di $A$ sia punto di minimo. Oppure non si può definire la continuità di $f$ mediante qualche proprietà di $f(A)$.
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Vorrei tornare sulla domanda iniziale, perché merita forse dire alcune cose "ovvie" ma che non sono patrimonio diffuso.
Alcuni concetti relativi a funzioni reali di una o più variabili reale si possono esprimere (volendo) mediante proprietà richieste all'immagine della funzione.
Sia $f : A \to RR$, con $A \subseteq RR^n$.
Diremo che:
- $f$ è limitata se $f(A)$ è un sottoinsieme limitato di $RR$
- $f$ ha minimo (assoluto) se $f(A)$ ha minimo (e il minimo di $f$ non è altri che il minimo di $f(A)$)
- l'inf di $f$ si definisce come inf di $f(A)$
etc.
Altre proprietà NON sono esprimibili guardando solo l'immagine.
Per esempio, non si può definire in questo modo il fatto che un punto di $A$ sia punto di minimo. Oppure non si può definire la continuità di $f$ mediante qualche proprietà di $f(A)$.
"Fioravante Patrone":
Quella che hai descritto è una funzione da $RR^2$ in $RR^4$.
Per poter capire bene il resto del messaggio dovrei prima capire una cosa.
Supponendo che una funzione da $RR^2$ in $RR$ sia $f(x,y)=x+y$
Quando si parla di f e di f(A) (ad es qui:)
- $f$ è limitata se $f(A)$ è un sottoinsieme limitato di $RR$
chi sarebbe $f$ e chi $f(A)$ in $f(x,y)=x+y$?
$f(A)$ credo che sia l'insieme delle immagini della funzione $x+y$, mentre f?
Scusate le domande basilari e grazie.
$f$ è il nome della funzione. Non a caso si dice normalmente $f:A \to RR$ (notazione compatta la quale ci dice che il dominio è $A$, il codominio $RR$ e dà un nome, per l'appunto alla funzione). Nessuno avrebbe il coraggio di scrivere $f(x):A \to RR$.
Quando scrivi $f(x,y) = x+y$ stai dicendo che il valore che la funzione $f$ assume nel punto $(x,y)$ è $x+y$.
Si usa dire: "sia data la funzione $f(x,y)$", ma è un modo improprio di esprimersi.
Alcune divagazioni in tema le trovi qui, dove parlo del "dx" (ultime righe di pag. 3 e prime di pag. 4):
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
Quando scrivi $f(x,y) = x+y$ stai dicendo che il valore che la funzione $f$ assume nel punto $(x,y)$ è $x+y$.
Si usa dire: "sia data la funzione $f(x,y)$", ma è un modo improprio di esprimersi.
Alcune divagazioni in tema le trovi qui, dove parlo del "dx" (ultime righe di pag. 3 e prime di pag. 4):
http://www.diptem.unige.it/patrone/chi_ ... gativo.pdf
Perfetto,grazie, ho letto ed è tutto chiaro per quanto riguarda il dubbio iniziale.
Mi è venuta però una curiosità.
Se io chiedessi, qual'è la funzione "che somme due numeri".
La risposta x+y è un modo improprio di esprimersi, perchè ancora si vuole nominare una funzione facendo riferimento al valore che essa assume, giusto?
Quale sarebbe dunque una risposta propria a questa domanda?
Mi è venuta però una curiosità.
Se io chiedessi, qual'è la funzione "che somme due numeri".
La risposta x+y è un modo improprio di esprimersi, perchè ancora si vuole nominare una funzione facendo riferimento al valore che essa assume, giusto?
Quale sarebbe dunque una risposta propria a questa domanda?
"playbasfa":
Perfetto,grazie, ho letto ed è tutto chiaro per quanto riguarda il dubbio iniziale.
Mi è venuta però una curiosità.
Se io chiedessi, qual'è la funzione "che somme due numeri".
La risposta x+y è un modo improprio di esprimersi, perchè ancora si vuole nominare una funzione facendo riferimento al valore che essa assume, giusto?
Quale sarebbe dunque una risposta propria a questa domanda?
La risposta è "la funzione somma".
Tuttavia, come sottolineo anche nei miei appunti che citavo, a volte voler essere "ligi al regolamento" ci esporrebbe a contorsionismi verbali eccessivi.
Meglio, e più efficace, dire:
considero la funzione $f(x) = x^2 - 3e^x$ (anche se è un modo improprio di esprimersi)
che dire:
considero la funzione differenza fra la funzione quadrato e il triplo dell'esponenziale
Tutto chiaro, grazie.
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