Dubbio sulla serie geometrica

[Raffa851]

non ho capito come una serie geometrica viene trasformata in una frazione
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k \) supponendo che la ragione \(\displaystyle q>1 \) come la trasformo in frazione
chiedo perche oggi mi sono trovato davanti questo esempio
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{2^n -1}{2 - 1}\)

[mgrau]

Viene dalla scomposizione del binomio $a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ....ab^(n-2)+ b^(n-1))$

[Raffa851]

non c'è una formula per calcolarlo velocemente ?

[mgrau]

Calcolare che cosa?

[Raffa851]

la frazione ricavata dalla serie geometrica

[mgrau]

$\frac{2^n - 1}{2 - 1}$ non è semplice abbastanza?

[Raffa851]

"mgrau":$\frac{2^n - 1}{2 - 1}$ non è semplice abbastanza?

capito, ma se tu sapessi solo \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^k \) e che q>1 come ricavi la frazione ?

[mgrau]

$\frac{1- q^(n+1)}{1-q}$

[otta96]

"Raffa85":capito, ma se tu sapessi solo \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^k \) e che q>1 come ricavi la frazione ?

Chiama $S=\sum_{k=0}^n q^k$, considera $qS$, e fai $qS-S$, questo è uguale a $\sum_{k=1}^(n+1) q^k-\sum_{k= 0}^n q^k$, quindi $S(q-1)=q^(n+1)-1=>S=(q^(n+1)-1)/(q-1)$.

[Raffa851]

Grazie mille