Dubbio sulla semplificazione di una sommatoria
Ciao a tutti,
sarà che la mole di studio mi sta obnubilando la mente, fatto sta che non mi torna perchè $ [sum^(oo )|1/k^(1/2)|^(5/2)]^(2/5)=sum^(oo )1/k^(5/4) $ ...Probabilmente è una banalità, ma mi sfugge
Grazie mille in anticipo!
P.s. le sommatorie partono da k=1 (non sapevo come inserire la formula correttamente)
sarà che la mole di studio mi sta obnubilando la mente, fatto sta che non mi torna perchè $ [sum^(oo )|1/k^(1/2)|^(5/2)]^(2/5)=sum^(oo )1/k^(5/4) $ ...Probabilmente è una banalità, ma mi sfugge
Grazie mille in anticipo!
P.s. le sommatorie partono da k=1 (non sapevo come inserire la formula correttamente)
Risposte
a me non sembra siano uguali
Ecco qui il testo dal quale deriva il problema:
Grazie mille in anticipo >.<
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Grazie mille in anticipo >.<
mi spiace ma non riesco a trovare una ragione.
È vero che implicitamente il testo dice che
\[
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^5} = \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\frac54}\right)^\frac52, \]
e magari l'identità è pure vera, ma puzza di errore lontano un chilometro per il fatto che non è omogenea in \(k\). (Se si sostituisce \(\lambda\cdot k\) a \(k\), dove \(\lambda>0\), il membro sinistro acquista un fattore \(\lambda^5\) mentre il membro destro non cambia. Questo non dimostra niente, ma è una grossa spia di possibile errore).
In ogni caso pare proprio che l'unica cosa che serva sia dimostrare che, se \(\| x\|_{\ell^\frac53}<\infty\) allora la sommatoria \(\sum_{k=1}^\infty \left\lvert \frac{x_k}{k^\frac12}\right\rvert\) è finita. Per questo basta sapere che \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^5}<\infty\) il che è vero.
Se poi ti serve proprio l'uguaglianza tra le due serie, torna a postare e vediamo che si può fare. Possiamo cercare qualche formula chiusa oppure fare delle approssimazioni numeriche per avere almeno una idea se l'uguaglianza sia vera o no.
\[
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^5} = \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\frac54}\right)^\frac52, \]
e magari l'identità è pure vera, ma puzza di errore lontano un chilometro per il fatto che non è omogenea in \(k\). (Se si sostituisce \(\lambda\cdot k\) a \(k\), dove \(\lambda>0\), il membro sinistro acquista un fattore \(\lambda^5\) mentre il membro destro non cambia. Questo non dimostra niente, ma è una grossa spia di possibile errore).
In ogni caso pare proprio che l'unica cosa che serva sia dimostrare che, se \(\| x\|_{\ell^\frac53}<\infty\) allora la sommatoria \(\sum_{k=1}^\infty \left\lvert \frac{x_k}{k^\frac12}\right\rvert\) è finita. Per questo basta sapere che \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^5}<\infty\) il che è vero.
Se poi ti serve proprio l'uguaglianza tra le due serie, torna a postare e vediamo che si può fare. Possiamo cercare qualche formula chiusa oppure fare delle approssimazioni numeriche per avere almeno una idea se l'uguaglianza sia vera o no.
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