Dubbio sulla ricerca e il calcolo dell'inversa
Il testo dell'esercizio era il seguente:
Sia f(x) la media di $e^{−x}$ tra i punti x e x + 1. Individuare il più ampio intervallo contenente l’origine in cui la funzione f è invertibile e studiare una primitiva a scelta di tale inversa.
Svolgimento:
Ho innanzitutto calcolato l'integrale indefinito di $e^{-x}$ che risulta essere $-e^{-x] +c$, poi ho calcolato l'integrale definito da $x$ ad $x+1$ che mi viene uguale a $- e^{-x-1} + e^{-x}$. Poiché x+1-x fa uno, allora la mia f(x) è proprio l'integrale definito.
Ora per determinare gli intervalli in cui la funzione è invertibile cerco gli intervalli in cui è monotona. Per farlo calcolo la derivata prima che mi viene $e^{-x} (e^{-1} -1)$. Ora studiando il segno della derivata primo ottengo che è sempre minore di zero. Dunque è sempre decrescente e quindi invertibile in tutto il campo dei reali.
Poi per calcolare un'inversa ho applicato il logaritmo a destra e a sinistra della funzione di partenza, per poter usare le proprietà dei logaritmi ed ottenere: $-x \log (-e(e^{-1] +1 )) = \log y$ e quindi l'inversa mi viene $x= (- \log y ) (\log (-1-e))^{-1}$.
Per terminare l'esercizio mi basterebbe calcolare l'integrale di questa funzione che suppongo vada fatto per parti e poi porre, ad esempio c= 0 per ottenere una primitiva qualsiasi.
Non sono molto convinta del calcolo dell'inversa e del dominio di invertibilità...
Sia f(x) la media di $e^{−x}$ tra i punti x e x + 1. Individuare il più ampio intervallo contenente l’origine in cui la funzione f è invertibile e studiare una primitiva a scelta di tale inversa.
Svolgimento:
Ho innanzitutto calcolato l'integrale indefinito di $e^{-x}$ che risulta essere $-e^{-x] +c$, poi ho calcolato l'integrale definito da $x$ ad $x+1$ che mi viene uguale a $- e^{-x-1} + e^{-x}$. Poiché x+1-x fa uno, allora la mia f(x) è proprio l'integrale definito.
Ora per determinare gli intervalli in cui la funzione è invertibile cerco gli intervalli in cui è monotona. Per farlo calcolo la derivata prima che mi viene $e^{-x} (e^{-1} -1)$. Ora studiando il segno della derivata primo ottengo che è sempre minore di zero. Dunque è sempre decrescente e quindi invertibile in tutto il campo dei reali.
Poi per calcolare un'inversa ho applicato il logaritmo a destra e a sinistra della funzione di partenza, per poter usare le proprietà dei logaritmi ed ottenere: $-x \log (-e(e^{-1] +1 )) = \log y$ e quindi l'inversa mi viene $x= (- \log y ) (\log (-1-e))^{-1}$.
Per terminare l'esercizio mi basterebbe calcolare l'integrale di questa funzione che suppongo vada fatto per parti e poi porre, ad esempio c= 0 per ottenere una primitiva qualsiasi.
Non sono molto convinta del calcolo dell'inversa e del dominio di invertibilità...
Risposte
per il dominio di invertibilità anche a me risulta $mathbbR$
per quanto riguarda l'inversa :
$y=(e-1)/ee^(-x)$
$e^(-x)=(ey)/(e-1)$
$x=-ln((ey)/(e-1))=ln((e-1)/(ey))=ln((e-1)/e)-lny$
per quanto riguarda l'inversa :
$y=(e-1)/ee^(-x)$
$e^(-x)=(ey)/(e-1)$
$x=-ln((ey)/(e-1))=ln((e-1)/(ey))=ln((e-1)/e)-lny$
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