Dubbio sulla ricerca dei punti critici di $f(x,y)$

[frons79]

Sia $f(x,y)= \ln \frac{x-y}{xy}$, si determinino i suoi punti critici determinandone la natura.
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\[
\nabla f(x,y)=0 \rightarrow
\begin{cases}
f_x(x,y)=0 \\
f_y(x,y)=0
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
\frac{y}{x(x-y)}=0 & (1)\\
\frac{x}{y(y-x)}=0 & (2)
\end{cases}
\]
Ora dall'equazione (1) ottengo che $y=0$ ma $x \ne y \ne 0$, mentre dalla (2) $x=0$ ma $y \ne x \ne 0$, il che mi suona assurdo, sia per i valori trovati, sia perché il Dominio dela funzione non include l'origine.
Che cosa ho sbagliato? E come ne esco?

[Wilde1]

Mi dispiacerebbe risultare pesante, ma continui a inviare esercizi simili e se ricevi una risposta che non risolve l'esercizio ma piuttosto ti stimola a ad arrivarci con le tue capacita' e ragionarci sopra eviti di rispondere .
Non penso sia l'atteggiamento corretto per affrontare un qualsiasi tipo di studi.

Comunque ritornando all'esercizio, puo' capitare che la funzione non abbia punti critici??

[frons79]

"Wilde":Mi dispiacerebbe risultare pesante, ma continui a inviare esercizi simili e se ricevi una risposta che non risolve l'esercizio ma piuttosto ti stimola a ad arrivarci con le tue capacita' e ragionarci sopra eviti di rispondere.

Il fatto è che cerco risposte e non altre domande che già mi sono posto a priori e che, non riuscendo a trovarne risposta, mi hanno spinto a provare a chiedere aiuto qui. Poi se la cosa crea fastidio, basta non rispondere.

"Wilde":può capitare che la funzione non abbia punti critici??

Certo che può non averceli, se è sempre o crescente o decrescente.
Ma la mia domanda, in realtà era: posso concludere che, dai dati trovati al netto di errori di calcolo, tale funzione non abbia punti critici? Cioè basta come risposta o no?